[기본개념] 함수의 극한의 수렴

포스트내용

  이 포스트에는 함수의 극한 단원에 있는 첫 부분 함수의 극한의 수렴과 관련된 강의가 있습니다. 또한 함수의 극한 전체 단원의 목차가 있고 그에 따른 링크가 있는 포스트 입니다.

함수의 극한 단원의 강의들
함수의 극한에 대한 기본 개념입니다. 이 단원에 대한 기본개념은 아래와 같습니다. 필요한 강의를 보시면 됩니다.

1. 함수의 극한

   1.1 함수의 극한의 수렴 (이 강의 )
   1.2 좌극한과 우극한, 함수의 수렴조건
   1.3 무한대, -무한대로 갈때의 함수의 수렴, 무한대로 발산하는 함수의 극한
   1.4 함수의 극한의 기본성질
   1.5 함수의 극한값의 계산
   1.6 함수의 극한에서의 샌드위치 정리
   1.7 가우스 기호와 극한
   1.8 [수능개념] 합성함수의 극한
   1.9 함수의 극한에서 미정계수의 결정

2. 함수의 연속성

   2.1 함수의 연속성
   2.2 연속함수의 성질
   2.3 분수 꼴 함수의 연속성
   2.4 무한등비급수와 함수의 연속성
   2.5 사이값(중간값)의 정리
   2.6 [수능개념] 곱의 꼴로 표현된 함수의 연속성
 

 

함수의 극한과 수열의 극한의 차이점

 함수의 극한과 수열의 극한의 차이점은 두 가지입니다.

첫째로 함수의 극한의 정의역은 함수라는 말 자체에서 모든 실수가 됩니다. 수열의 극한의 경우는 자연수일 때만 가능 했습니다.

둘째로 수열의 극한은 무한대로 갈때의 극한만을 생각했지만 함수의 극한은 어떤 특정한 부분에서의 수렴과 발산도 생각을 할 수 있습니다.

함수의 극한의 수렴의 정의

 함수의 극한이 수렴의 정의를 보겠습니다.

 함수 가 이면서 가 한없이 가까이 로 다가갈 때

기호로 라고 씁니다.

여기서 한없이 가까이 다가간다는 말이 중요하죠.

꼭 일 필요는 없다는 말입니다.

 

 

함수의 극한의 수렴에 대한 해설

 그러면 간단한 예를 통해서 어떤 말인지 보도록 하겠습니다.

연결되어 있는 함수 를 생각합시다.

위의 그래프에서 가 2로 가까이 가면 함수의 값은 4로 가까이 갑니다.

그러므로 라고 말할 수 있습니다.

이것은 별 다른 어려움이 없을 것입니다.

 그렇다면 민준이에게 하나 물어 볼까요?

  의 그래프와 의 그래프는 같을 까요?

 같을 것 같기는 한데요. 쌤이 물어 보니까 아닌 것 같은데요.

 야.. 눈치가 빠르네요. 그러면 유진이는?

 분모가 이 되면...

 

 역시 유진이 대단해요. 분모가 일 때는 정의가 되지 않습니다.

이지만 정의역은 인 모든 실수가 되어 버리죠.

그러면 의 값을 구해 봅시다.

이것을 구하기 위해서는 먼저 그래프를 그려야 겠지요.

를 그리고 생각 합시다.

 

 방금의 의 그래프와 비슷하지만 안구에 힘을 주고 잘 보면 점 P에 구멍이 뽕~~!! 하고 뚫려 있는 것을 알 수 있죠. 일 때는 정의가 되지 않기 때문입니다.

그렇지만 가 2로 가까이 가면 함수값은 는 되지는 않지만 가까이 갑니다.

이때 기호로

 

라고 표현을 합니다.

비록 일 때 정의는 되어 있지는 않지만 가 로 다가가면 함숫값은 로 다가가기에 이렇게 표현하는 것입니다.

나중에는 이것을 단순한 계산으로 풀기는 하지만 함수의 극한은 함수의 관점에서 접근을 한다는 것을 분명히 알고 있어야 됩니다. 수열은 단순히 대입을 통해서 극한값을 얻어 내었다면 함수의 극한은 그래프에서 해석을 해서 나온 것이라는 것을 잊어서는 안 됩니다.