[기본개념] 함수의 극한값의 존재조건, 우극한과 좌극한

 

내용

 우극한과 좌극한에 대한 내용과

극한값이 존재하기 위한 조건

그리고 극한값이 존재하는 그래프를 보도록 하겠습니다.

위의 순서 차례대로 있으니 필요한 부분을 찾아 가면 되겠네요.

 

다른 함수의 극한의 개념
 다른 함수의 극한의 개념을 보려면 여기를 누르세요.

2로 가까워지는 상태는 두 가지

 우극한과 좌극한에 대해서 보겠습니다. 어떤 의 값이 로 가까워지는 경우는 크게 두 가지가 있습니다. 보다 크면서 다가오는 경우와 보다 작으면서 다가오는 경우 이렇게 두 가지가 있겠죠?

보다 크면서 다가오는 상태를 라고 표현합니다. 옛날 책에는 으로 표현되어 있습니다.  보다 작아지는 상태를 로 표현합니다. 으로 표현하기도 하죠.

우극한에 대한 설명

 예를 들어 볼까요?

위의 그림입니다. 검정색 선을 함수 의 일부분이라고 합시다.

이 때 가 보다 살짝 큰 값을 가지면서 로 가까이 다가가면 함수의 값은 어디로 가까워지겠습니까? 그렇죠? 의 값은 정해지지는 않았지만 보다 살짝 큰 값으로 다가가면 아래와 같겠네요.

그러므로 이 경우를 이렇게 표현합니다.

 

어떤 특정한 값보다 살짝 컸을 때 가까이 가는 상태를 우극한 이라고 하고 가까이 가는 값을 우극한값 이라고 말합니다.

방금에서는 우극한값은 라고 말할 수 있겠네요.

좌극한에 대한 설명

 다시 위의 그림을 봅시다. 방금과 반대로 보다 살짝 작은 값을 가지면서 로 다가가면 어떻게 되겠습니까?

그렇습니다. 

위의 그림처럼 생각할 수 있죠?

따라서

라고 표현할 수 있고 좌극한값은 라고 말할 수 있겠죠?

우극한과 좌극한을 배우는 목적은 극한을 조금 더 세밀하게 배우는 목적이 있습니다. 그리고 다음 내용 함수의 극한값이 존재하기 위한 조건을 정확하게 배우게 됩니다.

그런 과정에서 우리는 함수의 극한의 수렴에 대한 정의를 배웠는데 조금 더 섬세하게 수학적으로 정의 하는 것입니다.

함수의 극한값의 존재의 정의

 함수의 극한값의 존재의 정의는 아래와 같습니다.

 이는 정의기 때문에 반드시 암기해야 될 내용이죠. 암기를 하지 않으면 세일러문의 호통 이 여러분 귓속에서 웅얼웅얼 거릴 것입니다.

 좌극한과 우극한이 같을 때 우리는 라고 할 수 있습니다. 

그러면 함수의 극한의 수렴에 대한 내용에서 이 그래프가 있었습니다.

 라고 배웠습니다. 이는 엄밀하게는 우극한 즉 일 때는

로 다가가고 일 때도

4로 다가가기 때문에 그렇습니다.

 이고 이죠?

그러므로 가 된다고 말 할 수 있는 것입니다.

처음 배운 것 보다 상당히 섬세하게 정의가 되었습니다.

 

 

우극한과 좌극한의 개념의 도입 이유

 그렇습니다.

수열의 극한의 경우는 한 방향으로만 생각하면 됩니다. 는 계속 커지는 상태를 의미하니까 그렇죠? 그렇지만 함수의 극한에서 어떤 특정한 위치에 대한 극한값을 구하기 위해서는 두 지점 즉, 우극한과 좌극한이 같아야 된다는 정의였습니다. 

극한값이 존재하는 함수의 그래프

 그렇다면 극한값이 존재하는 함수의 그래프의 개형에 대해서 살펴보겠습니다. 위에서 본 바와 같이 중간에 잠시 구멍이 마법처럼  “뻥” 하고 나타나서 사라진다고 하더라도 극한값은 존재 하는 것이죠.

 

 

 

<혜이니> 달라 (2013.6.13.) -50초-
마법처럼 뻥하고 나타나 내 맘을 모두 가져가도 극한 값은 존재한다.

 지금까지 음악 드립 중 최악인데요.

 그래 미안하다. 이건 거의 몰랐을 거야. 이건 택시 타면서 내가 보려고 올렸어.

 쌤 전 이 노래 알아요.

 오!! 어떻게?

 쌤이 하도 쉬는 시간에 뮤직비디오로 혜이니를 자주 봐서요. 목소리가 이상하던데.

 아니야, 잘 들어 보면 남녀노소 목소리가 다 섞인 목소리야. 정말 멋진 목소린데.. 어쨌든. 다시 돌아 와서

 

 

아래 형태의 그래프들은 극한값이 존재 하는 그래프입니다.

 나중에 배우겠지만 함수의 연속과 극한값의 존재 조건은 다릅니다. 정확하게 기억하고 있어야 하겠습니다.