[기본개념] 함수의 연속성

포스트 내용

이 포스트에는 함수의 연속의 정의와 그와 관련된 간단한 개념문제로 구성되어 있습니다. 그 외 함수의 극한 단원에 관련된 다른 강의를 보려면 이 곳을 클릭 하세요.

 

함수의 연속성의 직관적 정의

 “함수 가 에서 연속이다.” 라는 표현을 이해할 때 두 가지 관점으로 접근을 해야 됩니다. 그래프의 관점과 식의 관점이죠. 먼저 그래프의 관점에서는 함수 가  주변에서 연결되어 있다 는 말입니다.

불연속인 함수의 그래프의 개형 세 가지

 함수가 연속이 되지 않을 때부터 시작해서 함수의 연속성의 수학적인 의미를 얻어 내어 봅시다.

 위의 그래프 세 가지는 함수 가 에서 연속이지 않은 형태입니다. 이 경우가 왜 불연속인지를 확인하고 함수 가 에서 연속일 조건을 식으로 표현해 봅시다.

그림 I 이 불연속인 이유는 함수 가 에서 정의 되지 않았기 때문입니다.

그림 II가 불연속인 이유를 수학적으로 표현하면 좌극한과 우극한 값이 다르기 때문입니다. 역으로 좌극한과 우극한 값이 다르면 불연속이라고도 표현 할 수 있겠네요.

그림 III이 불연속인 이유는 함수의 극한값 와 함숫값 가 다르기 때문입니다.

위의 세 가지를 확인하여 아래와 같은 결론을 얻어 낼 수 있습니다.

함수의 연속의 정의

 위의 그래프에서 분석한 내용을 바탕으로 하여 함수 가 에서 연속일 조건은 아래 세 가지입니다.

 함수 가 에서 정의 되어야 한다.

 가 존재해야 한다.

  

이렇게 세 가지로 정리 할 수 있습니다.

그런데 여러분들 위의 세 가지에서 하나면 암기하면 된다는 것 아시겠나요?

번만 외우면 는 자동으로 해결 됩니다.

 라는 식이 성립하기 위해서는 좌변, 우변의 값이 존재 해야 되는 거죠? 그래서 아래와 같이 정리합니다.

적용1. 그래프를 이용한 판단법

 방금 배운 개념을 바탕으로 하여 함수가 연속인지 아닌지를 판단합니다. 첫 번째 방법으로는 그래프를 이용한 판단법입니다. 그래프를 그릴 수 있으면 그래프를 보고 안구에 힘을 주면 함수가 연속인지 아닌지를 직관적으로 판단할 수 있겠죠?

다음 함수가 에서 연속인지 불연속인지 그래프를 이용하여 조사하시오.

       

함수 에서

, 이므로

극한 가 존재하지 않는다.

따라서 함수 는 에서 불연속이다.

적용2. 식을 이용한 판단법

 함수 가 에서 연속인지를 확인하는 방법은?

 인지를 확인하는 겁니다.

다음 함수가 주어진 함수에서 에서 연속인지를 판단하시오.

        

에서 연속인지를 확인하는 것이므로

   인지를 확인하면 됩니다.

  는 함숫값이므로 주어진 조건에서 이 되지만

는 가 로 가까이가지만 는 아니기 때문에 의 식을 이용해야 겠죠? 풀이과정을 정리합니다.

주어진 함수를 라 하자

 에서 이므로 불연속이다.