[기본개념] 함수의 극한 미정계수의 결정

포스트내용 

 함수의 극한 문제에서 미정계수를 결정하는 방법에 대한 강의입니다. 분모가 0으로 가면 분자는 0으로 다가가야 극한값이 존재한다는 내용입니다. 그 외 다른 함수의 극한에 대한 강의를 보시려면 이곳에 방문하세요.

함수의 극한에서의 미정계수의 결정

 미정계수란 정해지지 않는 계수를 의미합니다. 예를 들어

 일 때, 상수  에 대하여 의 값은?

 그 전에는 모두 계산을 했지만 이제는 결과가 나오고 문제에서 를 구하는 문제입니다. 이를 함수의 극한에서의 미정계수를 구하는 문제 또는 극한값을 이용하여 상수를 구하는 문제라고 합니다. 이것을 해결하기 위해서는 아래 개념이 필요합니다.

개념 설명과 직관적 이해

 위의 개념은 로 수렴할 때 , 분수 꼴로 표현된 형태의 극한값이 존재할 때 “분모가 0으로 다가가면 분자가 0으로 다가간다.” 는 내용이 의 내용입니다. 문제를 다시 보면

 일 때, 상수  에 대하여 의 값은?

 에서 극한의 문제를 해결할 때는 일단 대입하여 분자와 분모가 어디로 가까이 가는지를 확인해야 됩니다. 이 문제의 경우는 분모는 으로 다가가고 있습니다. 분자는 어디로 가는지는 모르지만 극한값은 으로 가고 있습니다.

이 때처럼 분모가 0으로 가면 분자는 0으로 다가가야 즉, 최소한 부정형은 되어야 극한값이 존재 합니다.

예를 들어 분자가 이 아닌 특정한 값으로 가까이 간다고 합니다 일 때

의 꼴은 또는 가 됩니다. 그러므로 분수꼴로 표현된 함수의 극한문제에서 분모가 0으로 다가가는데 극한값이 존재한다면 분자도 0으로 다가가야 되는 것입니다.

개념 과 관련된 문제 해결

 그럼 처음에 제시된 문제를 방금 배운 개념을 이용하여 해결을 해보고 정확하게 수학적인 증명도 알아 보겠습니다.

 일 때, 상수  에 대하여 의 값은?

 

을 대입하면 분모는 으로 다가갑니다. 그리고 극한값이 존재하므로 분자의 극한값 이어야 합니다. 따라서

을 얻어 낼 수 있습니다.

그러면 분자에 을 대입하면 이 되므로 인수정리에 의하여 는 확실하게 을 인수로 갖습니다. 상수에 주목하여 이차식 가 될 것입니다.

또는 에서 이므로 이 됩니다.

그 다음 형의 극한값의 계산을 하면 되죠.

약분후 대입입니다.

풀이과정을 아래에 정리합니다.

 일 때, 분모 이므로 분자 이어야 한다.

 에서

㉠을 주어진 식에 대입하면

 

,

 

 일 때 , 상수 에 대하여 의 값은?

 일 때 (분모) 이므로 (분자) 이어야 한다.

 에서

㉠을 주어진 식에 대입하면,

 이므로

㉡을 ㉠에 대입하면

 

개념 설명과 조심해야 될 점

 개념 를 다시 써보면 일 때

 이고 이면 이다.입니다.

이는 분수꼴로 표현된 함수의 극한값이 존재할 때 일 때, 즉 분자가 0으로 다가갈 때입니다.

조심해야 될 것은 일 때만 이라는데 주의 합니다.

 , 이므로 극한값이 으로 수렴할 때는 분모는 0이 아닌 어떤 값으로 가까이 가도 극한값은 0으로 가기 때문에 그렇습니다.

그래서 “분수꼴로 표현된 함수의 극한값이 존재하고 0이 아닐 때 분자가 0으로 다가가면 분모는 0으로 다가간다.” 라고 표현할 수 있습니다

예를 들어

 과 같은 문제입니다.

분자가 0으로 다가갈 때는 극한값을 살펴야 합니다 극한값이 로 다가가서 이 아니기 때문에 분모도 으로 다가간다. 라고 생각해야 겠죠.