가우스 기호와 극한에 대해서 살펴보도록 하겠습니다. 가우스기호를 다룰 때 처음에 공부 할 때 살짝 어려움이 있는 학생이 있을 것입니다. 이를 체계적으로 정리하여 쉽게 해결 할 수 있도록 해 봅시다.
(1) 특정한 값으로 가까이 갈 때
함수의 극한 단원에서 주로 묻는 문제가 되겠습니다. 
로 가까이 갈 때를 의미 하죠? 이럴 때는 첫째. 숫자를 대입하는 방법, 둘째. 그래프 해석법 이렇게 두가지가 있습니다. 또한 가우스 함수는 정수로 갈 때의 극한값이 존재하지 않는 특징을 이용한 문제로 셋째. 정의를 이용 하여 해결하는 형태로 분류 할 수 있겠네요.
이 포스트에는 수치대입법으로 모두 해결해 보고자 합니다. 강의라면 그래프도 해 보고 싶지만 여러분들은 아는지 모르겠지만 그래프 그리는데 시간이 너무 많이 걸립니다. 그 시간에 그래프가 정말로 필요한 강의에 그래프를 그리겠습니다.
그러면 예제를 통하여 여러분들과 함께 한번 해 봅시다.
예제 1
의 값을 구하시오.
로 다가갑니다. 그렇다면 그 숫자는 
과 같은 숫자라고 생각 할 수 있죠? 그래서 
이 됩니다.
예제 2
과 
의 값을 구하시오.
위의 두 문제는 처음 접근할 때 학생들이 잘 틀리는 부분입니다. 조심히 생각하면서 해결해 볼까요?
의 값을 구합니다. 
를 넣었다고 생각하면 
은 
보다 살 짝 작겠죠? 따라서 
입니다.
마찬가지 방법으로 
의 값을 구해볼까요? 
의 가우스 값부터 먼저 구해야 하므로 
입니다. 따라서 
을 제곱하니 여전히 
이 되겠죠?
, 
예제 3
함수 
에 대하여 
가 존재하기 위한 실수 
의 값을 구하시오. (단, 
는 
보다 크지 않은 최대정수이다.)
극한값의 존재 조건에 대한 문제입니다. 
가 존재 하려면 우극한과 좌극한이 같아야 한다는 내용을 가지고 해결 할 수 있겠죠?
가 존재하므로
예제 4
함수 
가 
은 정수
에서 극한값이 존재할 때, 상수 
의 곱 
의 값은?(단,
는 
보다 크지 않은 최대의 정수이다.)
이 문제는 가우스함수는 정수값 주변에서 값이 급변한다는 내용을 바탕으로 하여 해결을 하면 좋겠네요. 
의 값을 알아야 하는데 
보다 살짝 작은 값으로 다가합니다. 따라서 
이 된다는 것과 비슷한 방법으로 
이 되는 사실을 바탕으로 하여 풀이를 보면 되겠습니다.
가 
에서 연속이므로
예제 5
실수 전체의 집합에서 정의된 이차함수 
에 대하여 이 함수가 
에서 최댓값 
을 가질 때 
의 값을 구하시오.
전형적인 낚시 문제가 됩니다. 
가 정확하게 
가 되었을 때의 함숫값은 
인 것은 확실합니다. 즉, 
인 것은 확실하죠? 그런데 
일 때 
가 2로 다가갈 때는 다른 문제가 됩니다. 이차함수는 
나 
일 때는 함숫값은 
이 되지 않겠죠? 
보다 살짝 작은 값일 것입니다. 따라서 
의 값은 
이 아닌 
가 됩니다. 조심하세요!!!
(2) 
로 다가갈 때
로 다가갈 때는 샌드위치 정리를 이용합니다. 이를 이용하기 위해서는 가우스 함수에서 배운 내용중 아래 내용을 이용하시면 되겠습니다. 이것에 대한 증명은 여기를 눌러서 공부를 하세요.
예제 6.
의 값은? (단, 
는 
를 넘지 않는 최대 정수)
부분을 처리 하는 것이 문제의 포인트가 됩니다. 
를 위의 방식으로
임을 이용하여 샌드위치 정리를 이용하시면 됩니다.
풀이 1
이므로
일 때 
이므로 양변에 
를 곱하면
따라서
아래의 풀이는 
임을 이용한 풀이인데 이것은 수학적으로 엄밀한 풀이는 아닙니다만 많은 참고서에서 활용하고 있는 방법으로 사용하시면 됩니다.
풀이 2
(단, 
)라 놓으면
보통 
일 때 가우스기호가 포함된 함수의 극한 문제는 가우스 기호를 없애기만 하면 답이 되는 경우가 많습니다만 아닌 경우도 있으므로 주의 해야 겠습니다.
예를 들어 
를 구하라는 문제의 답은 무엇일까요?
일 때 
이므로 
입니다. 이는 무한소 
이 아니라 실제 숫자 
입니다. 그러므로 위의 문제의 답은 0이겠죠? 조심해야 될 내용입니다.
상위권 학생의 경우는 이 부분도 조심해서 살펴보아야 하겠습니다.
지금 까지 가우스기호와 함수의 극한에 대해서 알아보았습니다. 체계적으로 정리 하여 자신의 것으로 만듭시다.