포스트 내용
이 포스트에는 수능에 자주 출제 되는 합성함수의 극한에 대해서 알아 보도록 하겠습니다. 그 외 다른 함수의 극한의 개념이 궁금하면 여기를 누르셈
합성함수의 극한
합성함수의 꼴로 된 함수의 극한 문제는 시험에 자주 출제 되며 중요한 부분입니다. 합성함수 꼴로 표현 되었을 때는 반드시 속에 있는 함수의 값이 어디로 가까이 가는지 조금 더 구체적으로 따져야 합니다. 먼저 결과부터 정리하고 간단한 예를 통해서 알아보도록 합시다.
음.. 그림의 품질이 조금 안 좋네요. 그런데 이거 다시 그리려면 상당히 오랜 시간이 걸리므로 이해해 주시길 바랍니다.
위의 그림에서 
의 그래프의 형태가 세 가지가 있다는 것을 의미 합니다. 먼저 여러분들에게 하나 물어 볼께요.
의 값은 무엇입니까?
예요.
정답입니다. 합성함수의 극한 꼴이 아니고 단순한 우극한이나 좌극한값을 구하는 경우는 쉽게 구해 낼 수 있겠죠? 그런데 합성함수의 극한에서는 조심해야 됩니다.
합성함수의 극한의 개념 I.
그러면 위의 그림에서 첫 번째 경우를 살펴 보도록 합시다.
위 그림입니다. 여기서 
의 값은 당연히 
라는 것을 알 수 있지요? 그런데 합성함수 꼴로 
의 형태가 주어질 때 
일 때 어떻게 되느냐의 문제는 조심해야 됩니다. 
일 때는 
는 
로 다가가지만 
보다 살짝 크다는 것을 알 수 있죠? 그래서 
가 됩니다. 
는 아닙니다.
아래의 그림을 보면서 잘 생각 해 보시고 이와 관련된 간단한 예를 보고 다음 설명을 하도록 하겠습니다.
합성함수의 극한의 적용
그러면 위의 예를 이용한 문제를 보도록 합시다.
위의 문제에서 
의 값을 구해 봅시다. 먼저 여러분들이 해 볼까요?
의 값은 
인 것은 알겠죠? 모르겠으면 여기 다시 복습하고 오세요. 누르긔
꼴에서 속에 있는 
가 
에서 어디로 다가가는지 구체적으로 알아봅시다.
그렇습니다. 
일 때 
는 0보다 살짝 위에서 접근하므로 
로 생각할 수 있습니다.
따라서 
를 
로 생각할 수 있는 것이죠.
그러면 
의 값은 쉽게 얻어 낼 수 있겠죠?
단순한 우극한을 구하는 문제이므로 
이 됩니다.
합성함수의 극한의 개념 II.
이제 두 번째 경우를 봅시다.
위의 그래프에서 
의 값은 무엇일까요?
답은 
입니다.
극한값도 아니고 그냥 
를 구하면 됩니다. 그 이유를 볼까요?
일 때 속에 있는 
의 값이 어디로 갈 것인지를 보면
의 값은 
로 유지 되죠? 
보다 살짝 크지도 작지도 않게 접근합니다. 그래서 속에 있는 
를 
로 생각할 수 있습니다.
합성함수의 극한의 개념 III.
세 번째 경우를 보면 첫 번째와 비슷하다고 할 수 있습니다.
는 무엇일까요?
답은 
입니다.
그 이유는 위의 경우를 이해했다면 쉽게 알 수 있을 것으로 생각 됩니다만..
일 때 
는 
로 다가가지만 살짝 아래에서 접근 하죠? 그래서 
는 
로 생각하면 됩니다.
따라서 
가 됩니다.
다시 정리
방금 배운 세 가지를 처음에 보여드렸던 그림으로 정리하겠습니다. 눈알이 튀어나오도록 확실하게 보시고 이 개념을 이용하는 문제를 적용해 봅시다.
적용
위의 함수에서 
의 값을 구하는 문제입니다. 여러분들이 먼저 답을 내어 보고 아래 해설을 읽어 보세요.
일 때 가장 속에 있는 
가 어디로 가는지 구체적으로 볼까요?
로 다가가지만 살짝 아래로 접근 하죠?
그러므로 
를 구하는 문제로 바뀌었습니다.
다시 
일 때 
가 어디로 다가가는지 볼까요?
는 
로 접근 하죠?
따라서
로 바뀌었습니다. 이제는 합성함수의 극한이 아니고 그냥 우극한을 구하는 문제입니다.
따라서 답은 
가 되겠죠?
지금 설명 드린 것 아주 중요한 내용이니까 여러분들 것으로 만드시길 바랍니다. 수능 기출문제에서도 자주 등장하는 문제고 계속 변형되고 응용되어 출제 될 수 있는 부분입니다.