[심화개념] 삼차함수의 특수한 성질 1. 변곡점에서의 대칭성

 삼차함수의 특수한 성질에 대해서 살펴보겠습니다. 원래 미적분1에서는 변곡점이라는 개념이 없습니다만 변곡점을 알아 두면 좋은 경우가 많습니다. 변곡점이란 그래프의 볼록성을 나타내는 것인데 위로 볼록했다가 아래로 볼록 한 순간의 점을 변곡점이라고 생각 하면 됩니다. 물론 미적분2를 배우는 학생이라면 쉽게 할 수 있습니다. 미적분1을 하는 학생이라면 굳이 변곡점에 대한 깊은 내용까지는 필요 없다고 생각 됩니다.

 그것은 함수 를 두 번 미분한 함수 에서 이면서 주변에서 의 부호가 달라지면 함수 는 에서 변곡점을 갖는다고 할 수 있을 것입니다.

이차함수는 선대칭함수입니다. 삼차함수는 점대칭함수가 되는데 이것이 왜 그런지 직관적으로 이해를 해 보고 그것이 안 되면 증명을 직접 해 봐야 겠지요?

이를 알아보기로 하겠습니다. 아래의 성질 들을 하나씩 보면서 위의 내용을 증명하도록 하겠습니다.

 이는 다음에 배울 삼차함수의 특수한 성질 2번째 내용을 하기 위해서 필요한 내용이고 자신이 것이 될 수 있도록 노력을 하여야 합니다.

에서 

입니다. 

 이 되는 는

에서 가 되겠죠?

이는 의 두 근을 라 하면

 이고 이 두 근의 평균은

 이므로 방금 구한 값과 일치 합니다.

또한 마찬가지로

 의 세 실근을 이라 하면

의 평균은

인데 

삼차방정식의 근과 계수의 관계를 적용하면

이므로

로 일치함을 알 수 있습니다.

 그러면 위의 그래프에서 삼차함수에서 미분한 그래프 다시 한번 더 미분한 그래프를 위의 그래프로 표현 할 수 있을 것이며 의 좌표를 그리면 위의 그래프와 같고 이를 큰 벌레의 정신 을 통해서 직관적으로 삼차함수는 점 대칭함수임을 알 수 있을 것입니다.

 쌤 증명은요?

 이 부분은 수학 증명을 하긴 하겠지만 사실은 활용이 아주 중요한 부분입니다. 직관적으로 이해는 되었지?

 예

 그렇다면 이것으로 문제를 해결 하면 되겠네요. 개인적으로는 이 부분에 있어서는 직관이 안 되어 논리로 보충하는 것이 그렇게 좋다고 생각 하진 않습니다. 다른 부분에서는 그럴 수도 있지만요. 시험을 치를 때 직관력을 키우지 않고 논리로만 한다고 해서 1등급을 받는 것은 아닌 것 같거든요. 그것이 아마 1등급과 2등급의 차이 인 것 같습니다만. 어쨌든 증명은 간단한 증명만 아래에 남기겠습니다. 급한 사람은 증명 뒤에 있는 활용 부분을 읽어 보면 되겠습니다.

1) 는 원점 대칭함수이다.

  이므로 원점대칭함수이다. [증명끝]

2) 는 변곡점 에 대해서 대칭임을 보이자.

 에서

 

이다. 

변곡점의 성질에 따라

 

즉,

이다. 

를 축으로 만큼 축으로 만큼 평행이동 한 함수를 라 하면

 

   

   을 정리하면

이다. ㉠,㉡에서

 

 이므로

 꼴로 나타낼 수 있으므로

함수 는 원점 대칭함수이다.

그러므로 는 에 대해서 대칭인 함수이다. [증명 끝]

 삼차함수의 변곡점에서의 기울기는 최대 또는 최소가 됩니다. 이를 보도록 할까요.

이를 한번 살펴 볼까요?

도함수는 원래의 함수 에서 점 위의 점의 접선의 기울기를 나타냅니다.

삼차함수는 변곡점에 대칭인 함수 이고 는 이차함수로 선대칭함수이며 그 점의 좌표는 모두 각 함수를 방정식으로 표현했을 때의 근의 평균입니다. 그래서 위의 그림과 같이 됩니다.

그러므로 위의 그림에서 는 에서 최솟값을 갖게 됩니다.

이는 삼차함수에서 접선의 기울기가 최소인 지점이 변곡점임을 의미 합니다.

최고차가 음인 삼차함수는 같은 방법으로 접선의 기울기가 최대인 지점이 변곡점이 됩니다.

   방금 그림을 살펴봅시다.

 이 그림 자주 사용하지요? 이 그림 그리는데 프로그램을 이용해서 그렸는데 40분 걸렸습니다. 왜 이런 고생을 사서 하는지?? 익숙해지면 빨라 지겠죠??

어쨌든 의 그래프에서 인 지점이 의미 하는 것은?

접선의 기울기가 이 되도록 하는 지점이므로 에서 극대점과 극소점일 것입니다. 즉 이 되도록 하는 의 값이 두 개라는 것을 의미 하지요.

그렇다면 접선의 기울기가 최소일 때 즉 원래 함수 에서 변곡점에서는 어떻습니까? 

의 그래프는 아래와 같이 분홍색으로 나타납니다.

이 말은 접선의 기울기가 이 되는 지점은 한 군데만 존재하며 삼차함수의 변곡점에서의 접선은 하나만 존재 한다는 것을 알 수 있습니다.

그 변곡점에서의 접선의 모양은 아래와 같습니다.

 삼차함수의 변곡점이 일 때 삼차함수의 식은

입니다.

이를 두 가지 방법으로 보이겠습니다.

첫 번째 방법은 평행이동을 이용하였습니다.

   는 변곡점이 입니다.

   이를 축으로 만큼 축으로 만큼 평행이동 시키면

   이 되지요.

또는 적분을 통해서도 보일 수도 있습니다.

   

 이므로

부정적분을 통해서

한번 더 부정적분 하면

    

이므로 로 표현할 수 있습니다.