[심화개념] 곱의 꼴로 표현된 함수의 연속성

 

  곱의 꼴로 표현된 함수의 극한 문제는 시험에서 자주 등장하는 주제입니다. 두 함수가 주어집니다. 는 연속함수인데 다항함수로 주어지는 경우가 많습니다. 함수 는 에서 불연속일 때 주로 나옵니다. 우극한 값과 좌극한 값이 주어지면서 불연속일 때 자주 출제 되죠.

  그 때 두 함수의 곱이 연속이려면 이라는 것인데 이것이 증명되는 과정을 직관적으로 생각 할 수 있거나 수학적으로 확실하게 증명을 하여 자신의 것으로 만들어야 하겠습니다. 위의 설명을 아래와 같이 정리 했습니다.

보조정리곱의 꼴로 표현된 함수의 극한 보조정리

함수 가 연속이고 함수 는 에서 불연속일 때 함수 라 할 때 가 연속이면 이어야 한다

 

 

 

 

 

 

[직관적인 판단]

수학적인 방법은 아니지만 수능을 대비 할 때는 유용하다.    함수 는 에서 좌, 우극 한 값은 존재 하지만  불연속이다. 이 때 의 값이 0이 아니라면  함수 는 에서 여전히 불연속이다.  따라서 이어야 한다.

 

 

 

[증명]

함수 는 주변에서 우극한 값을 , 좌극한 값을 , 함숫값을 라 하자. 가 모든 실수에서 연속이므로 에서 는 연속이다.   따라서 즉, 그런데, 는 에서 연속이므로  이다.  따라서, ㉠은 이고  는 좌,우 극한값을 가지지만 불연속이므로  중 적어도 두 개는 다르다. 따라서, 이다. [증명 끝]

 

 간단한 예제를 들자면

 는 연속인 함수이다. 

이때 라 할 때 가 연속이려면 어떤 조건을 만족하는가?

(단, 는 를 넘지 않는 최대정수)

  이 되겠지요

수학적으로 표현 하자면  , ( 단, 은 정수 )