[기본개념] 함수방정식에서 도함수 구하기

포스트내용 

 함수방정식 꼴에서의 도함수를 구하는 방법에 대한 강의입니다. 또 다른 미분과 관련된 강의는 미적분1 은 여기를 누르시고,

미적분2는 여기를 누르세요.

함수방정식에서 도함수 구하기

  의 식을 편의상 함수방정식이라고 합시다. 이 함수방정식에서 도함수를 구하는 문제는 주로 내신에서 중요하게 다루어지는 부분입니다. 이렇게 표현된 꼴에서 도함수를 구하는 과정에서 함수의 극한과 미분에서의 다양한 개념을 동시에 사용해야 되기에 중요한 문제가 되겠죠. 이 문제를 해결하는 방법을 두 가지로 보겠습니다. 첫 번째는 교과서에 있는 방법으로 도함수의 정의를 이용한 방법이고 두 번째 방법은 편미분을 이용한 풀이입니다. 편미분은 개정교육과정에 있으나 수능의 범위에는 들어가지 않는 부분입니다. 이번 개정교육과정에서 포함되기는 했습니다.

 

필요한 개념

 우선 이 부분을 하기 위해서 필요한 개념은 아래와 같습니다.

1. 도함수의 정의

2. 함수의 극한에서 미정계수의 결정

3. 형의 극한값의 계산

이렇게 세가지의 개념을 알고 있어야 문제를 해결할 수 있습니다. 이 세 개중 모르는 것이 있으면 위의 내용에 마우스를 살포시 올려서 눌러 주세요.

풀이 1. 도함수의 정의를 이용하기

 예제를 가지고 두 가지 방법으로 해결합시다.

함수 가 임의의 실수 에 대하여
를 만족시킨다.
이 때, 를 구하시오.

도함수의 정의를 생각합시다.

 입니다.

주어진 식

 에서

대신에 를 대입했다고 생각하면

입니다. 

따라서

가 됩니다.

그래서 

이므로

이죠?

그런데 를 처리하는 것이 문제가 되겠네요.

분모가 으로 다가가므로 분자도 으로 다가가야 문제가 될 것입니다. 즉 이 되어야 문제가 되겠죠. 그것을 확인하기 위해서

에 을 대입하거나 을 대입하면 임을 확인할 수 있습니다.

로 고치면

미분계수의 정의 에서 을 대입했을 때의 식과 일치하므로

이라고 할 수 있습니다. 이를 풀이과정으로 정리합니다. 풀이과정을 서술할 때는 임을 먼저 보여주면 깔끔하게 정리할 수 있겠죠?

 에 을 대입하면

 이므로

      ()

    

 이므로

 이다.

문제 해결에서 유의점

 이 문제를 해결할 때 처음 풀때는 조금 복잡해 보입니다. 문제를 푸는 방법만을 기억하지 말고 방금의 풀이를 다른 친구들에게 설명을 할 수 있을 정도가 된다면 이 문제의 풀이방법은 정해져 있으므로 쉽게 해결 할 수 있을 것입니다.

문제를 해결할 때 의도적으로 어떤 개념이 사용되었는지를 확인하면 조금 더 빠르게 정리가 될 것입니다.

편미분

 편미분을 이용하여 풀 수 있습니다. 편미분이란 어떤 특정한 한 문자만을 변수로 보고 그 문자에 대해서 미분하는 방법을 편미분이라고 합니다.

예를 들어 을 에 대해서 편미분하라는 말은 를 변수로 보고 나머지 문자인 를 그냥 상수로 본다는 말입니다.

그래서 합성함수의 미분법을 생각하면 되겠죠?

을 에 대해서 미분하면 입니다.

이것처럼 을 에 대해서 편미분할 때는 를 처럼 상수처럼 보면 되고 를 처럼 보고 미분하면 됩니다.

그러므로 가 됩니다.

풀이 2. 편미분을 이용한 풀이

 아까 그 문제를 다시 보고 편미분을 이용하여 해결해 봅시다.

함수 가 임의의 실수 에 대하여
를 만족시킨다.
이 때, 를 구하시오.

정해진 방법이 있습니다. 정해진 STEP에 맞춰서 하면 됩니다.

STEP 1. 함수방정식을 에 대해서 편미분한다.

의 식을 에 대해서 편미분을 하면

는 를 상수로 취급할 수 있으므로 미분하면 입니다.

를 에 대해 편미분하면 이죠

그러므로

입니다. 

STEP 2. 에 적절한 값을 대입한다. 보통은 을 대입한다.

방금 구한 식

 에 을 대입하면

 이므로

 

로 해결할 수 있습니다.

 풀이 과정을 다시 정리하면

를 에 대해 편미분하면

 

을 대입하면

 

이므로 

 

편미분을 이용한 풀이의 유용성과 주의점

 이처럼 편미분을 이용하면 트와이스의 방법 으로 풀 수 있습니다. 상당히 우~~아 하게 풀 수 있죠? 그럼에도 불구하고 교과서 방법부터 먼저 하시고 편미분을 이용한 풀이를 하여야 합니다. 정말로 시간이 많이 없지 않는 이상은 그렇게 해야 수학의 개념적인 도구를 사용하는데 시간을 오히려 절약할 수 있습니다. 너무 급하면 어쩔 수 없이 편미분을 이용할 수 밖에 없겠지만요..