[기본개념] 접선의 방정식

포스트내용

  이 포스트에는 미분을 이용하여 접선의 방정식을 배웁니다. 접선의 방정식은 세 가지의 경우가 있는데 그 경우에 대해서 배우게 되고 특히 밖의 점이 주어졌을 때의 접선의 방정식을 중점적으로 다룹니다. 그 외 다른 미분의 개념을 보려면 여기를 누르세요.

직선의 방정식, 미분계수

 기울기가 이고 지나는 점이 인 직선의 방정식은

인 것을 배운 적이 있습니다. 기울기와 지나는 하나의 점만 알고 있으면 직선은 유일하게 하나로 결정 됩니다.

그리고 우리는 전 과정에서 미분계수의 기하학적인 의미를 배운 적이 있습니다. 의 의미는 함수 위의 점 에서의 접선의 기울기라고 말이죠.

접선의 방정식

 이처럼 미분단원에서의 접선의 방정식을 구하는 것은 기울기와 미분계수는 밀접한 관계가 있다는 것을 이용합니다. 그렇다면 함수 위의 점 에서의 접선의 방정식을 구하라고 하면

접선의 기울기는

접점이 이므로

 

가 되겠죠.

문제의 형태는 아래와 같이 3가지가 있고 이 3가지에 따라 해결하는 방법을 기억해야 됩니다.

1. 곡선 위의 점(접점)을 지날 때의 접선

 접점은 지나는 한 점 이므로 기울기만 구하면 됩니다. 예를 보겠습니다.

 위의 점 에서의 접선의 방정식을 구하시오.

 

접점 이 주어져 있으므로 기울기만 구하면 되겠죠?

이렇게 접점을 지날 때는 접선의 기울기를 구하면 끝

그런데 접선의 기울기는 미분계수 이므로 를 구하면 되겠죠?

의 도함수를 구하면

이므로 이므로 접선의 기울기는 입니다.

이제 기울기 과 접점 을 모두 다 알기 때문에

을 이용하여 접선의 방정식을 구할 수 있습니다.

1. 접점이 주어질 때 연습

 그렇게 어렵지 않으니 여러분들이 하나 풀어 보고 넘어 가겠습니다.

곡선 위의 점 에서의 접선의 방정식을 구하시오.

라고 하면

점 에서의 접선의 기울기는

따라서 구하는 접선의 방정식은

∴

2. 기울기가 주어질 때

 이제는 기울기가 주어질 때입니다. 기울기가 주어지면 접점만 구하면 되겠죠?

곡선 에 접하고 기울기가 인 직선의 방정식을 구하시오.

라 하면

기울기가 이 되도록 하는 접점의 좌표를 구하는 것이 포인트입니다.

 에서

그 접점의 좌표를 라고 하면

이므로 가 됩니다.

이 때 구한 는 접점의 좌표입니다. 따라서 접점의 좌표는 가 됩니다.

이므로 접점의 좌표가 이 되죠.

문제에서 기울기가 이라고 했으므로

 

접점의 좌표만 구하면 끝!!!

풀이과정만 깔끔하게 정리하면 아래와 같습니다.

라고 하면

접점의 좌표를 라고 하면 접선의 기울기가 이므로

∴

따라서 접점의 좌표는 이므로 구하는 접선의 방정식은

∴

2. 기울기가 주어질 때 연습

 기울기가 주어질 때는 접점의 좌표가 2개 이상 존재 할 수도 있습니다. 아래의 문제를 해결해 봅시다.

곡선 에 접하고 기울기가 인 직선의 방정식을 구하시오.

로 놓으면,

접점의 좌표를 라 하면 접선의 기울기가 2이므로

 

 또는

따라서 접점의 좌표는 , 이므로 구하는 접선의 방정식은

 ,

 ,  

3. 곡선 밖의 점에서의 접선의 방정식

 곡선 밖의 점이 주어진 경우는 곡선 위의 점을 문자로 두어서 역으로 그 문자를 구하는 과정으로 해결합니다. 정해진 STEP에 맞추어서 하면 됩니다.

예를 들어서 해 볼까요?

점 에서 곡선 에 그은 접선의 방정식을 구하시오.

STEP 1. 접점을 로 둔다.

접점을 라 하면

STEP 2. 접선의 방정식을 에 대한 식으로 구한다.

이므로

따라서 접선의 방정식은

위의 식을 정리하면

STEP 3. 방금 구한 접선의 방정식에 문제에서 주어진 도형 밖의 점을 대입한다.

점 은 을 지나므로

㉠에 대입하면

STEP 4. 에 대한 방정식을 푼 후 STEP2에서 구한 접선의 방정식에 대입한다.

 을 정리하면

 

일 때 에 대입하면

일 때 에 대입하면

 풀이에서 볼 수 있듯이 접점을 두기만 하면 끝!! 위의 과정의 풀이를 정리합니다.

라고 하면   

접점의 좌표를 라고 하면 접선의 기울기는 이므로 접선의 방정식은

       ①

이 접선이 점 을 지나므로

∴ 또는

따라서 구하는 접선의 방정식은 ①에서

(ⅰ) 일 때,  

(ⅱ) 일 때,  

3. 곡선 밖의 점에서의 접선의 방정식 연습

 숫자만 바꾸어서 문제를 해결해 봅시다.

점 에서 곡선 에 그은 접선의 방정식을 구하시오.

점 에서 곡선 에 그은 접점의 좌표를 로 놓으면

 이므로 점 에서의 접선의 기울기는 이다.

따라서, 구하는 접선의 방정식은

 

 

그런데, 이 접선이 점 을 지나므로

 

 또는

그러므로 구하는 접선의 방정식은

 또는

 살짝 응용된 문제를 볼까요?

점 (을 지나고, 곡선 에 접하는 직선은 3개 있다. 이 때, 세 접점의 좌표의 합은?

 이 문제를 해결 할 때 접점의 좌표를 라고 놓습니다. 이 때 의 의미는 접점의 좌표 이므로 문제에서 접점의 의 좌표의 합이란 것은 에 대한 방정식에서의 세 근의 합이 됩니다.

 로 놓으면,

 

접점의 좌표를 라 하면 이점에서의 접선의 기울기는 이므로 접선의 방정식은

 

 

이 직선이 점 을 지나므로

 

 

따라서 세 접점의 좌표의 합은 근과 계수의 관계에서 이다.