포스트내용
미분 단원에서 롤의 정리에 대한 강의입니다. 미적분 1에 대한 또 다른 개념이 궁금하면 여기를 누르세요.
롤의 정리
많은 학생들이 롤의 정리에 심취해 있습니다. 롤의 정리만 하면 수학 실력이 늘지 않겠죠? 그것이 하이머딩거의 선택
입니다. 하이머딩거 까지 안다면 정말 롤의 정리에 심취하고 있는 것입니다.
그 롤의 정리의 결과를 정리 해 볼까요?
롤의 정리의 암기의 필요성
롤의 정리는 위의 문장을 통째로 암기해야 됩니다. 글자하나하나를 빠뜨리면 안되고 그 의미를 정확하게 알아야 합니다.
쌤 그런데 이건 증명 안 해 줘요?
수리논술을 대비 하는 학생이라면 중요하게 생각하여 증명을 해야 됩니다. 일단은 의미가 더 중요하므로 그 의미를 파악한 후에 맨 뒤에 남기겠습니다. 역시 공부 열심히 하는 유진이는 달라도 달라요.
롤의 정리의 기하학적 의미
롤의 정리는 함수 
가 주어져 있을 때 
인 경우를 생각합시다. 물론 닫힌구간 
에서는 연속이고 열린구간 
에서는 미분가능해야 됩니다. 부드러운 곡선이 되는 것이죠? 아래의 그림을 생각 할 수 있겠죠?
여기서 
인 
가 
에서 적어도 하나 존재합니다. 위의 그래프에서는 어디가 되겠습니까?
그렇습니다. 접점 위에서의 접선의 기울기가 
이 되는 점을 살펴 보면 위의 그림에서 빨간 점이 되고 그 때의 
좌표가 
가 됩니다. 여기서 여러분들 
의 값이 구간 
에서 하나 존재함을 알 수 있습니다.
흑흑흑, 그림 하나 하나 그리는데 시간이 많이 걸리네요. 왜 이런 고생을 사서 할까요? 이 글을 보는 한 학생이라도 도움이 된다면.. 지금 시간이 조금 있을 때 조금 고생 해 놓죠.. 뭐..
적어도 하나 존재한다는 것의 의미
적어도 하나 존재한다는 말의 의미는??? 접선이 
축과 평행한 선이 최소한 하나는 존재한다는 말입니다. 즉 이 말은 여러개 존재 할 수도 있는데 적어도 하나는 있다는 말이죠.
여러 개 존재 하는 그래프는 아래와 같겠죠?
위의 그림처럼 접선이 
축과 평행한 선은 두 개 그을 수 있고 그 접점의 
좌표가 모두 열린구간 
에 있음을 알 수 있습니다.
상수함수의 경우는 접선의 기울기가 모두 
이므로 무수히 
를 얻어 낼 수 있습니다.
닫힌구간에서 연속이 안되면?
롤의 정리의 전제조건에서 닫힌구간 
에서 연속이어야 한다는 내용이 있었습니다. 이 조건이 빠졌다면 
인 
가 없을 수도 있습니다. 아래와 같은 그림이죠.
그래서 닫힌 구간에서 연속이 되어야 접선의 기울기가 
이 되는 지점이 열린구간내에서 존재 할 수 있습니다.
왜 열린구간에서 미분가능해야 되나요?
닫힌구간에서 미분가능하다는 말은 정의가 될 수가 없습니다. 미분의 의미 자체가 극한값이기에 좌미분계수와 우미분계수가 같아야 하는데 닫힌구간이라고 해 버리면 왼쪽 끝에서는 좌미분계수를 구할 수 없습니다. 마찬가지로 오른쪽 끝에서는 우미분계수를 구할 수 없습니다. 그래서 “열린구간”에서 미분가능하다는 조건이 필요합니다.
열린구간에서 미분가능하지 않으면
그것과 관련해서는 아래 2번째 문제를 참고 하시면 됩니다.
다음 함수에서 롤의 정리를 만족하는 
의 값을 구하시오.
함수 
는 닫힌구간 
에서 연속이고
열린구간 
에서 미분가능하다.
이므로
을 만족하는 
가 
에서 적어도 하나 존재한다.
에서
이므로 
이다.
아래 그림은 닫힌구간 
에서 연속인 함수 
의 그래프이다. 이 함수에 대하여 롤의 정리를 적용할 수 없는 이유를 말하시오.
함수 
는
열린구간 
에서 연속이지만 닫힌구간 
에서 미분가능하지 않다. 그러므로 롤의 정리를 적용할 수 있는 것은 아니다.
롤의 정리의 증명
아래에 롤의 정리의 증명을 남기겠습니다. 파이팅~!!
