[기본개념] 평균값 정리

포스트내용

  이 포스트에는 평균값 정리에 대한 내용이 있습니다. 롤의 정리를 먼저 보시고 오면 좋습니다. 일루와~~!! 그 외 미적분1의 미분과 관련된 다른 개념을 보려면 여기를 클릭하세요. 평균값 정리의 기하학적 의미와 간단한 예제 그리고 롤의 정리를 이용하여 평균값 정리를 증명하는 과정이 있습니다.

롤의 정리

 롤의 정리는 함수 가 닫힌구간 에서 연속이고 열린구간 에서 미분가능할 때 이면 인 가 열린구간 에 적어도 하나 존재한다는 것이었습니다. 이를 확장하여 평균값 정리를 얻어 낼 수 있습니다.

평균값 정리의 기하학적 의미

 위에서 빨간색으로 정리 해 놓은 부분을 봅시다.

는 에서 함수 가 주어질 때의 평균변화율이고

 는 의 에서의 미분계수입니다.

그리고 평균변화율의 의미는 정해진 두 점을 지나는 직선의 기울기였고 미분계수의 의미는 접선의 기울기 였죠?

위의 그림처럼 빨간색으로 표시 된 것이 정해진 두 정점 를 지나는 직선의 기울기입니다. 그 기울기와 접선의 기울기가 같도록 하는 점은 위의 그래프에서는 두 개가 존재하고 그 접점의 좌표가 입니다.

닫힌구간, 열린구간의 의미

 평균값 정리는 롤의 정리와 마찬가지로 통째로 암기해야 되는 부분입니다. 닫힌구간에서 연속이고 열린구간에서 미분가능해야 되는데 이런 글이 있는 이유는 롤의 정리에서 설명했습니다. 이 곳을 참고 하세요.

적어도 하나 존재한다는 것의 의미

 적어도 하나 존재한다는 말은 최소한 하나 이상 존재한다는 말입니다. 방금 예를 들어 드린 것처럼 두 개가 존재할 수도 있고 또는 세 개가 될수도 있습니다만 최소한 한 개는 있다는 말이죠.

예제

 공식 암기를 위한 간단한 계산 문제 풀어 봅시다.

함수 에서 구간 에서 평균값 정리를 만족하는 상수 의 값을 구하시오.

평균변화율이 미분계수와 같도록 하는 의 값을 구하는데 의 범위가 인 것만 조심하면 되겠죠? 그리고 아래 풀이의 내용을 정확하게 글로 서술할 수 있으면 좋겠습니다.

함수 는 닫힌구간 에서 연속이고

열린구간 에서 미분가능하다.

평균값 정리에 의하여

를 만족하는 가 구간 에서 적어도 하나 존재한다.

 

이고 이므로

 인 이다.

롤의 정리로 평균값 정리 증명하기

 롤의 정리로 평균값 정리를 증명해 봅시다. 이는 수리논술에서 중요하게 다루어지던 내용입니다. 수능을 대비 하는 학생은 이런 과정에서 증명되었다는 내용은 알고 있어야 하고 수리논술을 대비하는 학생은 과정을 정확하게 암기를 해야 됩니다.

어떤 함수 가 주어질 때 그 함수 위의 정해진 두 점를 지나는 직선의 방정식을 생각합니다. 그 직선의 방정식은

 이죠?

함수 에서 방금 구한 직선의 식을 뺀 함수를 새로운 함수 라 생각합니다.

이렇게 두면 함수 는 가 되어 롤의 정리를 이용할 수 있다는 것이 대략의 줄거리입니다. 그의 증명을 아래에 남기도록 하겠습니다.

평균값 정리를 활용하여 증명하기

 평균값 정리를 이용하여 아래의 내용을 증명해 봅시다.

함수 가 닫힌 구간 에서 연속이고 열린 구간 에서 미분가능할 때, 열린 구간 의 모든 에 대하여 이면 함수 는 닫힌 구간 에서 상수함수임을 보이시오.

 쌤 너무 당연한 것 아닌가요?

 당연한 내용이지만 이를 평균값 정리로 확실하게 증명할 수 있다는 것은 재미 있는 일이 되겠지?

 노잼이예요

 이런 아이디어를 잘 알아야 어려운 문제에 쉽게 적용할 수 있겠지?

인 임의의 실수 에 대하여 닫힌 구간 에서 평균값 정리를 적용하면

가 되는 가 와 사이에 적어도 하나 존재한다.

그런데 가정에 의하여 이므로

            , 즉

따라서 함수 는 닫힌 구간 에서 상수함수이다. [증명 끝]