[기본개념] 미분계수

포스트 내용

미분계수에 대한 개념입니다. 미분계수를 이용한 연습문제는 다음강의에 있습니다.

혹시 평균변화율의 개념을 모르면 여기를 먼저 예습하고 오세요. 누르센

미분에 대한 다른 개념이 필요하면 여기를 누르긔

평균변화율 복습

 평균변화율이란 함수 가 주어질 때 를 평균변화율이라고 했습니다. 기하학적으로는 정해진 두점을 지나는 직선의 기울기 였습니다.

미분계수

 새로운 개념 미분계수에 대해서 배워 봅시다. 새로운 용어들이 나오면 그 용어들이 어떤 의미를 갖는지를 알아야 겠죠?

미분계수의 정의는 로 정의 됩니다.

평균변화율에서 의 증가량을 으로 가까이 갈 때의 평균변화율입니다.

의 의미

 함수 가 주어질 때

가 부터 로 변할 때의 평균변화율은

입니다. 여기서 으로 가까이 보낸 것이 미분계수라 할 수 있죠?

즉 가 부터 로 변할 때의 평균변화율에서

 일 때의 극한값을
에서의 미분계수라고 또는 순간변화율이라 하고

로 표현합니다.

의 두 가지 표현법

 보통 는 로 표현하는 경우가 많습니다.

그러므로 라는 것은 라고 표현할 수 있겠죠?

 라 하면

 은 라고 표현할 수 있으므로

 로 표현할 수 있습니다.

이 결과를 아래에 정리 해 봅시다.

연습

 새로운 용어들이 많이 등장했으니 한번 연습해 보고 또 다른 내용을 봅시다.

 

에서 에서의 미분계수를 구하시오.

에서의 미분계수는 로 표현하고 가 에서 로 갈 때의 평균변화율의 극한값이었습니다.

를 편의상 로 보면

평균변화율을 먼저 구합니다.

 이고

 이므로

 

여기 까지가 평균변화율에 대한 공식이고 이제 새로 배운 미분계수를 적용하려면 의 증가량을 으로 보내면 되는 것이죠?

그 말은 를 으로 가까이 보내면 됩니다.

따라서 입니다.

이처럼 여러분들은 위에서 정리한 공식을 그냥 암기 하지 마시고 위의 방법처럼 차분히 해 나가면 그렇게 외울 것이 없다는 것을 알게 되고 자연스럽게 암기 될 것입니다.

이란 것을 이용하여 의 값을 구해 봅시다.

    

     

    

 에서 의 극한값의 계산 이므로 약분 후 대입 기억나시죠? 기억 안나면 여기를 누르세요.

 

입니다. 이렇게 해결 하면 되겠죠? 처음 하는 것이라 생각하고 상당히 길게 썼습니다만 처음에 공부 할 때 제대로 해 놓으면 외울 것이 별로 없습니다.

미분계수의 기하학적 의미

 위의 방법으로 미분계수를 구해 보았습니다만, 이는 무슨 이유가 있기 때문에 구한 것입니다. 그러면 미분계수가 어떤 의미를 가지고 있는지에 대해서 알아봅시다. 결론부터 이야기 하면 라는 것은 함수 가 있을 때 에서의 접선의 기울기가 가 됩니다.

, 로 두 점이 주어져 있을 때 직선 의 기울기를 평균변화율이라고 했지요?

그것이 였습니다. 여기서 이란 말은 은 로 다가갑니다. 그렇게 조금씩조금씩 다가가면 아래 그림처럼 되겠죠? 그 때의 직선들을 차례로 그려 나갑시다.

그러면 그 직선은 반시계방향으로 돌아갑니다. 가 로 다가가면 직선 의 기울기를 구하는 것이고 이는 에서의 접선의 기울기가 됩니다. 그림은 편집하기 어려워 교학사 교과서 그림을 참고 했습니다. 교학사를 만드신 여러분들 께 감사드립니다. 물론 다른 교과서도요.

내용을 정리 해 볼까요?

더 정확하게 알아야 될 내용

 위에서 미분계수라는 것은 정해진 점 하나가 있고 동점이 하나가 있다는 사실에 주목을 해야겠습니다. 그 동점이 정점으로 다가갈 때의 두 점 사이의 기울기가 되는 것이죠?

함수 에 대하여

의 값이 에서 까지 변할 때의 평균 변화율과

 에서의 순간변화율이 같을 때, 상수 의 값을 구하시오.

의 값이 에서 까지 변할 때의 평균변화율은

 에서의 순간변화율은

     

    

따라서 이므로