[기본개념] 다항함수의 미분법의 공식과 증명

포스트내용

  미분법의 공식과 도함수의 정의를 이용하여 증명하는 내용으로 이루어져 있습니다. 그 외 다른 미분의 개념을 보려면 여기를 눌르셈

도함수

 우리는 도함수에 대해서 다룬 적이 있습니다. 도함수를 구하기 위해서는

를 이용하면 되고

도함수를 구하는 것을 “미분한다”로 표현 했습니다.

이것을 모르면 여기를 클릭하셈

미분법의 공식

 우리가 배운 도함수의 정의를 이용하여 다항함수들을 쉽게 미분하기 위한 방법들을 배웁니다. 공식화 시켜서 빠르게 도함수를 구하는 것이 이 강의의 포인트입니다. 대부분의 학생들은 미분법의 공식을 다 알고는 있으나 이것을 증명하는데는 등한시 하는 경우가 있습니다. 이 과정을 처음으로 배우는 학생이라면 반드시 증명하는 과정이 필요합니다.

암기해야 될 미분법의 기본 공식을 먼저 정리 하고 하나씩 증명하고 적용해 봅시다.

 

미분법의 기본공식 증명

 을 봅시다. 이면 이다.

상수함수를 미분하면 즉, 도함수를 구하면 이 됩니다.

예를 들어 을 미분하면 이 됩니다.

그렇게 되는 이유를 아래에 증명하겠습니다.

 를 증명합니다. 는 일 때 입니다.

예를 들어 을 미분하면 공식에 의해서 가 되겠죠?

지수를 앞으로 보낸 후 지수를 하나 줄인다.!!! 로 암기 하시면 됩니다.

하나 더 해보면 을 미분하시오 라고 하면

 라고 할 수 있는 것이죠?

 쌤 하필이면 2020으로 계속 사용해요?

 지금은 2016년 이지만 이걸 2020년 까지는 수정 안해도 되거든.

 

위의 증명에서는 을 처리할 수 있으면 쉽게 증명이 됩니다.

임을 이용하면

이죠? 이를 이용하면 됩니다.

이항정리를 배운 학생이라면 이 증명도 참고하세요. 일루와~~ 이쁜이들

 ③을 봅시다. 를 미분하면 가 됩니다. 이 결과를 이용하면 을 미분할 수 있겠죠? 의 계수인 는 그대로 두고 을 미분하면 가 되니까

가 됩니다.

하나만 더해보면 을 미분하면 어떻게 될까요?

그렇습니다. 가 되어 가 됩니다.

 를 봅시다.  가 된다는 것인데 이는 미분을 쉽게 할 수 있는 두 함수의 합으로 표현 된 경우는 각각 따로 미분하여 부호를 연결하면 된다는 것입니다. 이 결과를 이용하면 도 쉽게 미분할 수 있다는 것이죠?

먼저

 

이므로

 일 때 가 되겠죠?

 를 미분해 볼까요?

입니다.

이렇듯 공식만 알면 쉽게 도함수를 구할 수 있습니다. 미분법의 공식을 이렇게 배우는 이유는 도함수를 빠르고 쉽게 구하기 위한 목적으로 배우는 것입니다.

 공식만 외우면 안되요?

 지금 정말 수능이 다가 왔으면 어쩔 수 없이 공식을 외우더라도 수학을 어떻게 보느냐에 따라 장기적으로 큰 영향을 미치므로 최대한 증명을 다 하세요. 민준이는 아직 수능 2년 남았으니까 증명해~!!

 를 보면 입니다.

이는 곱으로 표현된 함수의 미분입니다.

두 함수의 곱으로 표현되어 있을 때

앞 미분 뒤에 그대로

앞 그대로 뒤에 미분

한 것을 더하면 됩니다.

예를 들어 함수를 미분할 때는 모두 전개하여 정리한 다음에 미분을 해도 되지만 방금 배운 것을 적용하면

   

이렇게 되겠죠?

이런 식으로 미분을 할 수 있다는 것입니다.

 

 위의 결과를 이용하여
 

임을 알 수도 있습니다.

그것을 약식으로 증명하면

이 되겠죠?