[기본개념] 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성

포스트내용

  이 포스트에는 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성의 문제에 대해서 다루고 있습니다. 다른 미분의 개념을 보고 싶으면 여기를 누르세요

구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성

 함수 가

처럼 구간에 따라 다르게 정의된 함수에서 에서 미분가능하려면 아래와 같은 조건을 만족합니다.

이것을 활용하는 것은 그렇게 어렵지는 않습니다. 증명을 정확하게 한번 해보고 활용을 해 볼까요?

우선 미분가능이면 연속이어야 한다는 사실은 알고 있죠? 모르면 여기를 누르세요.

활용

 함수 가 에서 미분가능 할 때,

 상수 의 합 의 값을 구하시오.

에서  ,

라고 합시다. 에서 미분가능이려면 일단 연속이어야 하니까 입니다.

즉,

그리고 이 함수를 각각 미분하면

입니다. 위의 식에서 이 아니고 임에 주목합니다.

미분계수를 구할 때는 극한 값이기 때문에 경계에서는 식을 구할 수 없기 때문입니다.

그런데 미분가능하다고 했으므로 우미분계수와 좌미분계수가 같아야 하기 때문에 이 되어

 

입니다. 을 연립하면 문제는 쉽게 해결 될 것입니다.

함수 가 에서 미분 가능 하므로 에서 연속이다.

즉, 이므로

 

또, 가 에서 미분 가능 하므로

 에서

 

㉠에 대입하면

 

 숫자만 바꾸어서 여러분들이 아래 문제 해결해 봅시다. 기계적으로 풀지 말고 위의 설명들을 이해 하면서 해결하셔야 됩니다.

함수 가 에서 미분가능할 때, 의 값은?

함수 가 에서 미분가능하면

첫째, 에서 연속이므로

  ……㉠

둘째, 에서 미분계수 이 존재하므로

에서

 이고     ……㉡

㉠, ㉡에서

∴