[기본개념] 미분가능성

포스트내용

  이 강의에는 미분가능성의 정의와 성질, 미분불가능한 그래프의 예에 대해서 설명이 되어 있습니다. 미분에 관련된 다른 개념을 학습하고 싶으면 눌러눌러

미분계수 복습

 미분계수라는 것은 였고 함수 위의 점 에서의 접선의 기울기였습니다. 이거 모른다구요? 그럼 여기 눌러눌러

미분가능성

 미분가능성이란 용어가 무엇을 의미하는지 정의부터 보도록 합시다.

많은 학생들은 미분가능성의 정의를 기억하지 못한채 아래에 설명할 성질을 기억하는 경우가 많았습니다. 수학의 정의를 언제나 사랑한 세일러문을 잊지 말자구요. 정의를 잊어버릴 때 세일러문의 호통 이 여러분을 향합니다.

“정의의 힘으로 널 용서하지 않겠다."

미분가능과 연속의 관계(성질)

 미분가능성과 연속의 관계에 대해서 학습합시다. 함수 가 에서 연속일 때는 인 관계를 만족 했습니다. 몰라? 그럼 여기 빨랑 눌러

이 부분은 성질부터 먼저 정리하고 각각을 설명하도록 하겠습니다.

성질 1. 미분가능이면 연속이다.

 함수 가 에서 미분가능이면 연속이다 는 내용을 증명합니다.

이것은 가 존재하면 가 성립하는 것을 보이면 됩니다.

세 번째 줄에서 임을 보이는 과정이었습니다.

성질 2. 연속이라고 해서 미분가능한 것은 아니다.

 위의 의 성질을 만족한다고 해서 역은 성립하는 것은 아닙니다. 이 함수의 예는 뾰족한 그래프에서 찾아 낼 수 있는데요. 에서 에서는 연속이지만 미분가능하지 않습니다. 그것에 대한 해설을 아래에 정리합니다.

 위의 풀이과정에서 여러분들이 그래프의 해석에서 알아 볼 내용이 있습니다. 는 일 때는 가 되고 이 때 접선의 기울기는 입니다. 자체의 기울기가 이기 때문이죠. 일 때는 가 되어 접선의 기울기는 이 되므로 일 때는 접선의 기울기를 정확하게 구할 수 없기에 미분이 불가능하다고 합니다. 그것을 통해서 미분이 불가능한 그래프에 대해서 아래에 정리 해 봅니다.

미분이 불가능한 그래프의 예

 미분이 불가능한 그래프는 세 가지 형태가 있습니다.

“미분이 가능하면 연속이다.” 의 명제가 참이므로 대우명제도 참이 되겠죠?

“불연속이면 미분불가능이다.”입니다.

또한 방금 배운 내용에서 그래프가 뾰족하면 미분불가능이며

하나가 더 있죠. 접선이 축과 평행할 때 (축과 수직일 때)는 미분불가능입니다.  축과 평행한 그래프의 기울기를 결정하기 어렵습니다. 그래서 아래와 같이 정리할 수 있습니다.