[기본개념] 나머지정리와 미분

포스트내용

 꼴로 나눌 때의 나머지를 구하는 방법을 미분을 이용해서 해결하는 내용입니다. 그 외 미적분1에서 미분에 대한 개념을 보려면 여기를 클릭하세요.

제곱꼴로 나눌 때의 나머지 정리를 위한 개념적 도구

 함수 를 으로 나눌 때 몫을 , 나머지를 라고 한다면 로 둘 수 있다는 것은 알고 있을 것입니다.

합성함수의 미분법에서 을 미분하면 임을 알고 있죠? 모르면 이 곳을 클릭

제곱꼴이나 제곱꼴로 된 식으로 나눌 때의 나머지를 쉽게 구할 수 있습니다. 그것을 구하는데 필요한 필수내용을 봅시다.

를 미분하면

 

이므로 이를 로 묶어 내면

이므로 라 하면

 

입니다. 

그래서 우리는 중요한 내용 하나를 얻어 내었습니다.

이 사실을 확장 시키면

 위의 내용은 여러분들이 한번 곱의 미분법과 합성함수의 미분법을 이용하여 해결 할 수 있을 것입니다. 이를 이용하여 아래의 예를 봅시다.

적용

를 

으로 나눈

나머지가 일 때,

상수 의 값을 구하시오.

몫을 로 두면

입니다. 

의 양변에 을 대입하면

곧,

을 얻어 내는 것은 수I에서 열심히 했습니다.

그런데 우리는 방금 배운 개념적 도구를 바탕으로 하여

의 양변을 미분 하면

입니다. 라고 쓴 것은 어떤 의미인지 앞에서 봤죠?

를 미분을 하면 이므로 이 미분한 식은 여전히 을 인수로 갖는다는 사실이죠.

다시 에다 을 대입하면

곧

를 얻어 내었습니다. 따라서 를 연립하면 얻어 낼 수 있을 것입니다.

풀이과정을 아래에 정리하겠습니다.

 

를 으로 나눈 몫을 라 하면

 

㉠의 양변에 을 대입하면

    

㉠의 양변을 미분하면

 

 을 대입하면

   

 ㉡,㉢에서 , 이다.

나누어떨어질 조건

 처음에 언급한 개념적인 도구로 모두 해결할 수 있습니다. 사실은 더 이상 외울 것이 없죠. 다시 한 번 반복하면 를 미분하더라도 여전히 을 인수로 갖는다. 는 사실입니다.

 그냥 넘어 가면 심심하니 를 로 나누어 떨어질 조건을 유도 해 봅시다.

결국은 같은 내용입니다. 위의 결과만 암기하면 별로 도움이 안 되겠죠? 증명 한번 해 볼까요?

연습문제

 가 으로 나누어떨어지도록 상수 의 값을 구하시오.

몫을 라 하면

 

양변에 를 대입하면

㉠의 양변을 미분하면,

 

양변에 를 대입하면,

  

다항식 가 으로 나누어 떨어 질 때 상수 에 대하여 의 값은?

 를 으로 나누었을 때의 몫을 라 하면

 

㉠의 양변을 에 대하여 미분하면

㉠,㉡의 양변에 을 대입하면

 ,

두 식을 연립하여 풀면 ,