[기본개념] 수열의 극한값의 계산

 수열의 극한값의 계산에 대해서 살펴봅니다.

선수학습. 부정형

  수열의 극한값이 바로 계산 되지 않는 형태, 극한 값이 정해지지 않는 형태를 부정형이라고 하고 이렇게 크게 네 가지가 있죠. 몰랐니? 그럼 일루와 누르긔

 부정형은 위의 예처럼 네 가지가 있습니다. 그 네가지의 경우에서 우리는 각각의 수열의 극한 값을 구하는 방법을 배우게 됩니다. 그 중 의 형태는 다음 단원 함수의 극한에서 다루게 될 내용입니다.

그러면 하나씩 하나씩 뜯어보도록 하겠습니다.

아래에 형 , 형, 형이 있으니까 필요한 부분으로 아래로 내려 가면 됩니다.

 형의 극한값의 계산에 대해서 살펴보겠습니다.

1번은 교과서적인 방법,

2번은 숙달이 되었을 때 분자와 분모의 차수를 비교하여 계산하는 방법입니다.

3번은 빠르게 푸는 방법이고

이를 차례대로 하는 것이 좋습니다. 먼저 3번으로 하면 풀 수는 있지만 기본이 딸리면 나중에 고생합니다.

1. 분모의 최고차로 분자, 분모를 나누는 교과서 적인 방법

 의 극한값을 구하라는 문제가 있다면 이는 분모의 최고차인 으로 분자와 분모를 나누어서 계산합니다.

식을 고쳐서 보면

이 되겠죠? 여기서 과 은 일 때 각각 으로 수렴하게 됩니다.

따라서 아래와 같이 되겠죠?

그러므로 남는 값이 이니까 답은 이 되겠습니다.

 이 되겠죠?

그래서 꼴의 극한값을 계산할 때는

분모의 최고차로 분자 분모를 나눈 다음 임을 이용합니다.

 아래 문제를 풀어 봅시다.

아래의 극한값을 구하고 극한값이 없으면 의 기호를 사용하여 나타내시오.

1)  

1)번은  는 분모가 이차식이죠?

분모의 최고차인 으로 분자 분모를 나눕니다.

이 되겠네요. 이나 은 역시 으로 가까이 가겠죠?

이므로 분자는 0이 남아 답은 0이 되겠습니다.

 똑같은 방법으로 아래 2번과 3번 문제를 풀어 보세요.

2)

3)

2)번 답은 4입니다.

3)번 답은 입니다. 극한값을 구하라고 했으면 없다가 답입니다.

2. 차수 비교법

 위의 1번 방법이 정확하게 되었으면 아래를 봅니다.

위의 문제를 다시 봅시다.

1)  

2)

3)

 1)번 문제는 분모의 차수가 2차로 분자 보다 차수가 큽니다. 이 적당히 크면 이 훨씬 크므로 분모가 훨씬 크겠죠? 그래서 꼴이 되어 답은 0입니다.

3)번을 보면 ( 2)번 아닙니다. ) 역으로 분자가 2차로 분모보다 훨씬 클 것입니다. 따라서 답은 입니다.

2)번을 보면

였는데요.

분자와 분모의 차수가 어떻습니까? 같죠? 이럴 때는 분자와 분모의 계수의 비만을 보면 답이 된다는 것을 알 수 있죠? 따라서 이 때의 답은 이 되겠습니다.

 그렇다면 아래 문제를 눈으로 풀 수 있겠죠?

1)

2)

1) 번은 입니다. 두 말하면 잔소리죠.

2) 번은 입니다. 분모를 전개했을 때 의 계수가 이고 분자는 죠?

 그렇다면 이것을 보면 조금 뭔가 느껴지는 것이 있어야 하는데요.

결국 형은 큰 수만 남겨서 생각을 해도 된다는 것이죠?

 은 으로 근사를 해도 되는 것 손 틈새로 비칩니까? 손 틈새가 좁아서 잘 안비친다구요?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<아이유> 너랑 나 ( 2011.11.28.) 2분 08초
손 틈새를 넓히란 말이야. 잘 보이게  아이유의 용례 2번

 

3. 큰 수만 남기기

 개큰수와 큰수가 있습니다. 뭐가 큽니까? 느낌이 바로 오지 않습니까?

 당연히 개큰수죠.

 그렇죠? 과 은 로 갈 때 은 개 큰수고 은 큰수입니다.

당연히 개 큰수가 큽니다. 극한의 세상에서는 큰 벌레의 정신 이 필요 하죠. 대충 하는 것입니다. 그런데 처음부터 큰 벌레가 되면 안 됩니다. 반드시 위의 방법들을 모두 자기것으로 만든 다음에 하셔야 됩니다. 이것과 관련된 강의는 보충으로 되어 있습니다. 여기를 누르센

 이제 형의 극한값의 계산을 구하는 방법에 대해서 살펴보겠습니다. 형태의 극한값을 구할 때 크게 두 가지가 있습니다. 다항식의 형태와 무리식의 형태입니다.

1. 다항식-다항식의 형태

 다항식의 형태는 사실상 직관적으로 해결 할 수 도 있습니다. 예를 들면 아래와 같은 문제죠.

 

위의 문제를 봤을 때 느낌 오죠?  일 때는 분명히 입니다.

따라서 은 에 비하면 아주 작습니다. 즉, 새 발의 피요, 벼룩의 간입니다.

그러니 임이 분명합니다.

교과서적인 방법을 보겠습니다.

 

으로 묶어 냅니다. 그러면 으로 다가갑니다.

따라서 이 남는다고 볼 수 있으므로 위의 결과와 일치합니다.

 쌤 그럼 아까 근사적으로 생각하는 방법만 알아도 되는 것 아니예요?

 아닙니다. 교과서적인 방법은 알아 두어야 합니다. 방금 큰 것으로 묶어 낸다는 아이디어를 통해서 어려운 문제도 해결 할 수 있습니다.

2. 무리식을 포함하는 형태

 무리식을 포함하는 형태에 대해서 보겠습니다. 문제를 먼저 봅니다.

을 계산하라는 문제가 있다고 합시다.

이는 형태의 극한이죠.

이 때 분자를 꼴로 보고 유리화 합니다.

유리화를 하면 분자에 꼴이 생기게 되고 이는 이므로 가 됩니다. 즉 형태를 만들 수 있는 것이죠.

2.1 유리화를 통해서 풀기

 그러면 방금 문제를 유리화를 해 봅시다.

으로 고칠 수 있습니다.

여기서 분모를 살펴보면 이므로 이를 형태의 계산을 할 수 있습니다.

 그러면 방금의 결과에서 다시 시작합시다.

위의 식을 해결 할 때는 무한대 분의 무한대 꼴의 극한값의 계산 방법있죠? 방금 배웠습니다. 그것을 이용하면 됩니다. 즉 분모의 최고차로 분자 분모를 나눈다는 것이죠.

 무리식은 차수를 정할 수...

 역시 유진이는 날카로워요. 은 무리식이라 차수라는 말이 안되지만 극한의 단원에서는 이를 로 보는 것이죠. 1차라고 생각을 하면 됩니다.

그래서 분자, 분모를 으로 나누면 되는 것이죠. 분모를 으로 나눌 때 안에 있는 식은 으로 나누어야 겠죠? 따라서,

이 됩니다.

그런데 은 어떻습니까. 로 가면 으로 다가 갑니다.

그러므로 남는 것을 답을 하면 되겠습니다.

답은 가 되겠습니다.

그러면 문제 풀어 보고 조금 더 빠르게 풀 수 있는 방법은 없을까 생각 해 봅시다.

1) 의 값은?

2) 의 값은?

 

1)  분모를 1로 생각하고, 분자를 유리화 한다.

    

   

   

   

     

2)

2.2 빠르게 풀기

 이것도 큰 벌레의 정신으로 해결은 할 수 있습니다. 그렇지만 계속 말하지만 꼭 위의 방법을 한 다음에 근사를 통해서 풀어 보십시오. 여기 누르센

  형태는 그렇게 어려운 것이 없습니다. 부정형 시간에서 배웠듯이 형태는 로 바꿀 수 있습니다. 그래서 결론은 통분하거나 유리화 하여 로 고치는 것입니다. 함수의 극한 단원에서는 으로 고치는 것도 있습니다. 우리는 아이유의 정신 으로 합시다.

1년 후의 크리스마스도 미리 해버렸는데 한 단원 정도 미리 내용 정리를 해 놓는 것도 괜찮겠죠?

 

 수열의 극한 단원에서는 형태를 배우지 않습니다. 그래서 형태로 고쳐서 해결 하면 됩니다. 이제는 여러분들이 문제와 풀이를 보면서 먼저 해 보시고 연습해 보십시오.

의 값은?

 

의 값은?