[기본개념] 수열의 극한값의 대소관계 (샌드위치 정리)

 수열의 극한의 대소 관계를 학습하고자 합니다.

1.수열의 극한값의 대소관계 와

2.샌드위치 정리와 그 해설과 문제가 있습니다.

 

1. 수열의 극한 값의 대소 관계

 

 수열의 극한 값의 대소 관계에 대해서 보겠습니다.

 여기서 수렴한다는 말이 상당히 중요합니다.

수렴하는 수열에서만 가능한 이야기입니다.

수렴하는 수열에서

 이라고 했을 때 이 성립합니다.

왼쪽에 등호가 빠진 부등식 보이시죠? 그럼에도 불구하고 가 성립합니다.

예를 들어

이라고 하면

이지만 

수열의 극한 값은

 

이 됩니다.

2. 샌드위치 정리

 

 

 원래 이 부분도 수열의 극한 값의 대소 관계이지만 설명의 편의를 위해 구분해서 쓰도록 하겠습니다.

샌드위치 정리란 아래와 같습니다.

샌드위치 정리 해설

위의 내용을 증명해 보도록 하겠습니다.

먼저 라 합시다.

그러면 

 이므로

위에서 배운 수열의 극한 값의 대소 관계에 의하여  

 

입니다. 등호가 붙는데 다시 조심해야 겠죠?

그러므로

입니다. 마찬가지 방법으로 이므로

입니다. 에 의하여 가 됩니다.

즉 가 되는 것이죠?

그러니 양 옆에 둘러싸인 이 있을 때 양 끝의 수열의 극한이 같은 값으로 가면 중간에 있는 수열 의 극한값도 같은 값으로 가는 것입니다.

간단한 예

이를 가장 간단한 예로 보도록 하겠습니다.

을 만족할 때 임을 알 수 있겠죠?

그 이유는?

 이고 입니다.

양 끝의 극한값이 모두 이므로 중간에 있는 도 0으로 가까이 갑니다.

그래서 이 되겠습니다.

문제 풀이

 문제 풀어 보세요.

 

 

수열 에서 모든 자연수 에 대하여 부등식

 이 성립할 때, 의 값은?

 에서

 

수열 이 모든 자연수 에 대하여

을 만족시킬 때, 이다. 의 값을 구하시오.

의 각 변에 을 곱하면

이때,

이므로