[기본개념] 수열의 극한

 수열의 극한에 대해서 살펴봅시다. 극한이라는 말에 아주 과민반응을 하는 학생들이 있어요. 용어들에 겁을 먹을 필요가 없습니다.

  극한의 개념이 생기면서 미분과 적분이 설명이 가능해지면서 인류는 많은 진보를 해 왔습니다. 그럼에 따라 우리가 실생활에서 사용하는 많은 것들을 이루면서 지상 낙원으로 가까이 다가 가고  있는 것입니다. 인터넷도 하면서 이 강의를 보고 있는 것은 참 신기한 일이기도 합니다.

 

 수열의 극한, "니가 있어야 여기가 패러다이스”로 가까워집니다. 뭐지?

<인피니트> paradise (2011.9.26.)

 

 

 오. 이제 적응이 되어서 이 쯤은 열도 안 받네요.

 아. 다들 너무 좋아~!!  어떻게 그렇게 잘 생길 수가 있지?

 넌 비스트도 좋아 하고 인피니트도 좋아 하고 빅뱅도 좋아 하고 다 니 오빠네

 흥 그래서 뭐 어째서? 쌤 처럼 꼭 카라 좋아 하다가 크레용팝(2015년 8월 현재)으로 갈아 타는 것 보다 나아.

 ㅋㅋㅋ. 서연이가 오늘 이상한데요?

 험. 험.  피자를 안 사줘서 그렇나?

 ㅎㅎㅎ

 다시 수업으로 가서

가까워 진다는 말을 잘 기억하면서 무한 수열의 수렴에 대해서 배웁니다. 새로운 용어들의 의미를 정확하게 알 수 있도록 해야 겠습니다.

수열

이 있다고 합시다.

이 한없이 커지면 이 값은 어느 값에 가까워 집니까?

100번째 항은

번째 항은

안드로 번째 항은

그러니까 이 값은 점점 에 가까워 질 것입니다.

이를 기호로 이렇게 나타냅니다.

 

이 기호의 의미를 보면 은 극한 이란 뜻이고 리미트 라고 읽습니다.

 의 뜻은 이 무한대로 간다는 말입니다. 무한대는 영어로 (infinite,인피니트) 입니다.

 

인피니트 마크

아시죠?

그래서

의 뜻은 이 한없이 커질 때 이 어디로 가까이 가느냐 하는 것입니다

아까 으로 가까이 간다고 했죠?

그래서 기호로

 

라고 쓴 것입니다.

그러면 무한 수열의 수렴에 대해서 정리 하겠습니다.

 그러면 이니까

수열 은 특정한 값 에 가까이 가므로

수열 은 수렴하고

극한값은 0이다 라고 말할 수 있겠죠?

그 전 수학과 다른 것은 이제부터 극한이란 직관의 영역입니다. 어느 정도 이것을 받아 들이는 것이 좋다고 생각 됩니다.

그렇다면 수열 은 어떻게 될까요?

 은

로 커짐에 따라

따라서 분모가 계속 커집니다.

그러니 

가 되어 으로 다가 가겠죠?

그런데 이라고 했으므로

이 수열 는 로 다가갈 것입니다.

그러면 기호로

 이라고 표현 할 수 있겠네요.

문제를 풀어 보고 무한수열의 발산에 대해서 보도록 하겠습니다.

다음과 같이 주어진 무한 수열 의 극한값을 구하시오.

1) 

2) 

1) 번은 은 이 커짐에 따라 으로 다가갑니다. 따라서 극한값은 1이 됩니다.

2) 번은 은 이 커짐에 따라 으로 가죠? 따라서 극한 값은 역시 이 됩니다.

 

 무한 수열의 발산에 대해서 보도록 하겠습니다. 무한 수열의 발산의 정의는 수렴하지 않을 때를 발산이라고 합니다. 이것이 정의입니다.  나중에 학생들에게 물으면 발산이 인데요? 라고 말하는 경우를 많이 보아 왔습니다. 처음 배우는 학생이라면 반드시 기억하셔야 됩니다. 그것을 기억하지 않으면 세일러문의 호통이 여러분 귓속에 맴 돌 것입니다.

 

 

 

 

<모모이로클로버z> moon pride 세일러문 크리스탈 주제가 (2014.7.19.)
수학의 '정의'의 이름으로 널 용서하지 않겠다.

 쌤 그런데 하필이면 일본 것을 넣어요?

 한국 것은 저작권 때문에... 무엇 보다 이 노래가 너무 좋아 무슨 뜻인지도 모르고 한 2000번 들었다.

아래의 내용을 정확하게 아셔야 됩니다. 그러지 않으면 뭐라구요?

수학의 '정의'를 너무 사랑한 세일러문의 호통 을 들을 수 있다구요

정의의 이름으로 널 용서하지 않겠다~!!

 

 발산하는 수열의 예는 대표적으로 세 가지가 있습니다.

수열 을 볼까요?

이 한없이 커지면 숫자는 점점 커질 것입니다.

을 넣으면

은 

이 되겠죠?

그러니 이 무한대로 가면 아주 커질 것입니다.

이를 기호로는

 라고 씁니다.

극한값은 무엇 입니까?

 요.

 아닙니다. 는 극한값이 아니므로 극한값은 없고 단지 기호로만 로 나타낼 뿐입니다. 우리가 배우고 있는 것이 수렴하지 않는 경우라고 생각 하면 되겠죠? 발산 하는 경우입니다.

그렇다면 은 쉽게 얻어 낼 수 있겠네요.

이 계속 커짐에 따라 은 한없이 작아 지므로

 로 표현 할 수 있겠습니다.

그렇다면? 

 의 값은 무엇이겠습니까?

이 홀수 인 경우는 , 이 짝수 인 경우는 이 되므로

이 되어서 약간은 EXID 수열 이죠? 위, 아래, 위 아래.

그래서 이것은 어떤 특정한 값으로 가까이 가지는 않기에 이것을 진동한다고 이야기 합니다.

 

그래서 무한 수렴이 발산하는 예는 아래 세 가지 가 되겠죠?

 진동하는 경우도 발산이라는 사실을 반드시 기억하시길 바랍니다. 또한 아까도 말했지만 무한 수열이 발산 한다는 것은 수렴하지 않을 때가 정의라는 것을 반드시 기억하시길 바랍니다.

그러면 문제를 풀고 다음 내용을 보도록 하겠습니다.

다음 수열의 수렴, 발산을 조사하시오.

󰊉                    

󰊊

󰊋

1) 이므로 이 커짐에 따라 은 0에 가까워 지므로 수열 은 2에 수렴한다.

2) 은 의 값이 변함에 따라 의 값을 가지므로 진동한다.

3) 에서 이 커짐에 따라 은 0에 가까워지므로 수열 는 1에 수렴한다.