[수능해설] 2015년 11월 (2016학년도) 수능 A형 21번, 다항함수의 추론

[수능해설] 2016학년도 (2015년 11월 시행) 수능 A형 21번, 다항함수의 추론

 다항함수의 추론 문제입니다. A형(나형) 21번 문제로 자주 출제 되는 문제입니다. 이 문제에 대한 주제별로 정리된 자료를 보려면 여기를 클릭하시고, 미적분1 미분과 관련된 문제를 보려면 여기를 클릭하세요. 2016학년도 수능 문제의 다른 풀이를 보려면 여기를 클릭 하세요.

  다항함수의 추론 문제를 해결 할 때는 주어진 조건을 가지고 어떤 그래프의 개형이 될 것인지를 먼저 생각을 한 다음 그것으로 식을 세워서 문제를 해결하면 됩니다.

삼차함수라고 했을 때 삼차함수의 그래프의 개형을 기억하여야 겠지요.

(가)의 는 에서만 미분가능하지 않다는 조건이 주어져 있습니다. 그렇다면 그래프를 접어 올릴 때 주변에서 뾰족해야 됩니다.

그리고 (나)에서 방정식 이 닫힌구간 에서 적어도 하나의 실근을 갖는다. 이 두 조건을 가지고 그래프의 개형이 어떻게 될 것인지를 먼저 그림을 그려 봐야 됩니다.

위의 그림처럼 그렸습니다. 그런데 (나)의 조건은 만족하지만 다시 (가)의 조건을 보니 문제에서 의 그래프가 에서만 미분불가능하다고 했으므로 위의 그래프는 잘 못 되었습니다. 구간 에서 접어 올려 버리는 순간 뾰족점이 되어서 을 제외한 다른 부분에서 미분불가능하기 때문이죠. 그러면 어떤 그래프가 되면 될까요?

위의 그림처럼 접하는 형태가 되어 버리면 (가), (나) 조건을 만족하는 그래프입니다. 역시나 다시 접하는 형태가 나왔습니다. 최근 수능 문제들은 이처럼 기출문제를 철저히 분석을 하면 비슷한 형태가 계속 반복적으로 나온다는 것을 알 수 있습니다.

그러면 이제는 를 세팅하면 됩니다.

  라 두고 인 범위에서 문제를 해결하면 쉬워집니다. 이제는 산수문제가 되는 것이죠.

이므로

     

최대와 최소는 일 때 으로 최소

 일 때 로 최대가 됩니다.

 , 이므로

 가 되겠죠?

이 문제를 볼 때는 이 문제만 보지 말고 지금까지 나왔던 기출문제들을 분석해 나가면 그렇게 어렵지는 않은 문제였습니다. 그래프가 어떤 모양이 될지를 추측한다음 식을 구하는 것이 포인트가 되겠습니다.