[수능해설] 2015년 11월 (2016학년도) 수능 A형 15번, B형 13번, 무한등비급수의 도형문제

포스트내용

 2015년에 시행한 (2016학년도) 수능 A형 15번, 수능 B형 13번에 출제된 무한등비급수의 도형문제입니다. 또 다른 무한급수의 도형의 문제를 원하면 여기를 누르세요. 2016학년도 수능 문제의 다른 풀이를 보려면 여기를 클릭 하세요.

 무한등비급수의 도형문제입니다. 수능에서 계속 출제되던 부분이고 문과학생의 경우는 계속해서 나오는 부분입니다. 이번에 이과 과정은 미적분2, 확률과 통계, 기하와벡터로 시험범위가 바뀌면서 출제 될 가능성이 없다고 봐야 되겠죠? 이번 (2017학년도, 2016년 시행 수능)부터는 수학 나형에서 계속 출제 될 가능성이 있습니다. 그러면 이 문제 볼까요?

1. 단순화 시켜서 공비 구하기

 계속적으로 반복되는 도형의 형태에서 무한등비급수의 개념을 생각한다면 을 구하기만 하면 됩니다. 그러면 의 값을 구해볼까요?

의 값을 구할 때는 도형의 닮음비를 구하면 됩니다. 도형의 닮음비는 도형을 단순화 시켜서 비를 구합니다.

문제에서 처음 그림과 두 번째 그림에서 추가된 부분만을 보면

위의 그림이 됩니다. 이 두 도형의 비를 단순화 시킨 도형으로 생각하면

위의 그림처럼 됩니다. 이렇게 도형을 단순화 시켜서 비를 구하는 것은 상당히 중요한 내용이죠.

빨간 부분의 넓이는 , 파란 부분의 넓이는 각 5등분 했으므로 하나의 파란 사각형의 한변의 길이가 가 되므로 이 됩니다.

따라서 공비는 입니다.

2. 첫째항 구하기

 이제 첫 번째 항의 넓이를 구해 봅시다.

위의 그림에서 파란 정사각형의 넓이는 한변의 길이가 각각 이므로 총 3개이므로

빨간 원의 넓이를 구하려면 지름의 길이가 이므로

반지름의 길이는 가 되고

빨간 원 하나의 넓이는

따라서 원 두 개의 넓이는 입니다.

그러므로 첫 번째 항은 이 되겠죠?

3. 공식 을 이용하여 해결하기

 , 였으므로

 가 됩니다.