[교육청] 곱의 꼴로 표현된 함수의 연속성 2014년 7월 A형 (나형) 18번

  이 문제는 곱의 꼴로 표현된 함수의 연속성의 개념이 섞여 있는 문제로 수능대비에 아주 중요한 문제가 됩니다. 먼저 시험 때 적용해야 될 풀이를 정리 하고 하나씩 뜯어보도록 하겠습니다.

 

실전 풀이

  문제 한번 정독 하고 다시 읽을 때

첫 줄의 다항함수 에서 는 연속함수라는 것이 포함 되어 있음을 먼저 파악을 해야 겠지요.

을 만족한다는 것에서 는 이차식이고 최고차항의 계수가 1인 함수라는 것을 알 수 있습니다. 따라서 꼴이 될 것입니다

이렇게 분수 형태로 함수의 극한이 주어져 있으면 조건이 두 개 나온다는 것은 상식이죠?

에서 분모가 으로 가까이 가고 분자도 0으로 가까이 가야 되는데

는 연속함수이므로 이 됩니다.

따라서 이라는 결론을 얻어 낼 수 있습니다.

 이므로 

미분계수의 정의(또는 로피탈의 정리)를 이용하여

  라는 조건을 얻어 낼 수 있겠죠?

그렇다면

이 부분을

로 고칠 수 있는 것입니다.

 따라서 문제를 재구성 하면

로 바꿀 수 있는 것이죠

이제 곱의 꼴로 표현된 함수의 연속성 의 개념을 이용합시다. 그 개념을 모르는 사람은 여기를 살포시

여기서 함수 꼴로 주어져 있는데 함수 는 에서 불연속입니다. 따라서 가 에서 연속이려면 이 될 수 밖에 없지요.

그러므로 은 일 때 성립하고 최고차항이 1인 이차함수 이므로

가 됩니다.

따라서 나머진 산수입니다.

에서

이므로

이 되겠습니다.

  이처럼 곱의 형태로 표현된 함수의 연속성 문제에서 두 곱의 형태중 하나가 불연속이고 나머지가 연속이면 연속인 함수의 값이 이 되어야 된다는 내용이고 수능에서 자주 다뤄지는 내용이니 확실하게 학습을 해야 겠죠?

교육청에서 제시한 답안입니다.