[기본개념] 쌍곡선의 방정식, 점근선

쌍곡선의 정의에 대해서 살펴보도록 하겠습니다. 타원과 비슷합니다만 약간의 다른 점이 있지요. 타원은 정해진 두 점 (초점)과 이르는 거리의 합이 일정한 점의 자취라면 쌍곡선은 정해진 두 점과 이르는 거리의 차가 일정한 점의 라고 정의 됩니다. 이를 정리 하면 아래와 같습니다.

쌍곡선의 정의

두 초점에서 거리의 차가 일정한 점의 자취

 포물선과 타원을 하면서 여러분들은 대략의 스토리가 있다는 것을 알게 될 것입니다. 그 다음 스토리는 무엇일까요?

 쌍곡선의 용어를 정리 해야죠. 이름을 결정해줘야 합니다.

 

쌍곡선 용어 정리

용어	정의	그림
초점	쌍곡선 위의 점에서 거리의 차가 일정하게 되는 두 점
주축	쌍곡선의 표준형에서 축 또는 축에 만나는 두 점사이의 선분
중심	주축의 중점

 

그 다음 스토리는?

이제 방정식 유도하는 단계입니다. 그럼 다음 강의로 가죠.

  쌍곡선의 정의를 바탕으로 하여 쌍곡선의 방정식을 유도 해 봅시다.

​

​

​

이는 쌍곡선의 정의인 두 점 사이의 거리의 차 ,

즉 위의 그림에서 의 길이가 일정하다는 것에서 유도 됩니다.

위의 쌍곡선에서 절편의 점을 각각 이라 하고 아래의 그림을 봅시다.  

 그러면 점 도 쌍곡선 위의 점이므로 점 에서 두 초점사이의 거리의 차를 구하면

그림에서는 이므로

 이 됩니다.

즉, 쌍곡선 위에 있는 점들은 두 초점에서 이르는 거리의 차가 주축이 됩니다.

그 전 강의에서 배웠던 용어들을 가지고 쌍곡선의 정의를 다시 재정의 합시다.

쌍곡선의 정의 재정의

쌍곡선은 두 초점 사이의 거리가 주축이 되는 점들의 자취이다.

그러면, 이제 쌍곡선의 방정식을 유도해 봅시다.  자취의 방정식을 얻어 낼 때에는 우리가 해석하기 쉽도록 점을 잡는 것 기억나시죠?

그래서 초점을 , 으로 잡고

절편도 해석하기 쉽도록 , 으로 잡아서

 우리가 구하는 점 로 놓습니다. 이 때 주축의 거리는 이므로

 가 되도록 하는 점 의 의 관계식을 구하면 됩니다.

위의 그림에서 이미 이라는 것을 미리 보여 드렸는데요.

 그것에 대한 증명입니다.

	[증명]
	두 점 , 을 초점으로 하고, 그 두 점으로부터의 거리의 차가 인 쌍곡선의 방정식을 구해 보자. 쌍곡선 위의 임의의 한 점을 라고 하면, 쌍곡선의 정의로부터 이고         , 이므로                   양변을 제곱하여 정리하면          양변을 제곱하여 정리하면          이다. 이때 으로부터 이므로 으로 두고 양변을 으로 나누면   [증명 끝]

 

  조금 복잡한 계산이 있었지만 “한 번은” 증명을 해 보셔야 됩니다.

 식의 형태를 보면 타원의 방정식에서 중간에 부호만 에서 로 바뀐 어떻게 보면(?) 간단한 식입니다.  

그러면 초점이 축 위에 있을 때는 어떨까요? 

 아래와 같은 쌍곡선입니다.  

방금 본 쌍곡선과 비슷한 듯 비슷한 게 아닌 비슷한 것 같은 쌍곡선입니다.

무슨 썸 타는 것도 아니구요.

​

​ 

 쌍곡선의 방정식을 그래프에서 미리 제시 했습니다.

이죠. 아까 본 쌍곡선의 방정식과의 차이점은 무엇입니까?

단지 우변에 있는 수가 에서 로 바뀐 것 밖에 없지요.

이 방정식에서는 절편은 을 넣어 보면 실수범위에서 존재하지 않지만

절편은 로 두 개가 존재 합니다.

​

즉, 주축의 길이는 로 바뀐 것입니다.

이것은 위의 증명 방법과 너무 비슷하기에 넘어 가겠습니다.

그러면 쌍곡선의 방정식을 정리 하겠습니다.

쌍곡선의 방정식

  1) 두 점 , 을 초점으로 하고,
     두 초점 , 에서의 거리의 차가 인 타원의 방정식

 (단, )

 2) 두 점 , 을 초점으로 하고,

   두 초점 , 에서의 거리의 차가 인 타원의 방정식

 (단, )

 초점의 좌표를 구하는 방법은 두 가지 모두 다

 

즉,

입니다. 

 따라서, 쌍곡선의 방정식이 주어지면 아래 분모의 숫자들만 골라서 더하면 되겠지요.

예를 들어서 초점의 좌표를 한번 구해 봅시다.

 의 초점의 좌표를 구하시오.

분모의 두 숫자만 골라서 보면 과 입니다.

이를 더하면 이 될 것이고 가 됩니다.

또한 절편만 존재 하므로 초점은 주축과 같은 축 위에 있게 됩니다.

따라서 초점 는 이 되겠습니다.

아래 연습문제 풀어 보시죠.

쌍곡선 의 초점과 꼭짓점의 좌표, 주축의 길이를 각각 구하시오.

 

, 이므로

따라서 주어진 쌍곡선의 초점의 좌표는

,

꼭짓점의 좌표는

,

주축의 길이는

답은: 

초점의 좌표: , ,

꼭짓점의 좌표: , , 주축의 길이:

쌍곡선 의 초점과 꼭짓점의 좌표, 주축의 길이를 각각 구하시오.

, 이므로

따라서 주어진 쌍곡선의 초점의 좌표는

,

꼭짓점의 좌표는

,

주축의 길이는

답은

 초점의 좌표: , ,

 꼭짓점의 좌표: , , 주축의 길이:

두 초점 , 으로부터의 거리의 차가 인 쌍곡선의 방정식을 구하시오.

구하는 쌍곡선의 방정식을

이라고 하면

두 초점으로부터의 거리의 차가 이므로 에서

        

또, 한 초점의 좌표가 이므로

        

따라서 구하는 쌍곡선의 방정식은

  쌍곡선에는 점근선이 있습니다. 어떤 직선으로 가까이 다가갑니다. 우리가 가장 기본적으로 배웠던 쌍곡선 중에는 분수함수가 있습니다. 기억 나시죠?

이것을 그래프로 그려보면

입니다. 여기다 두 선을 추가 시켜 볼까요.

두 선을 추가 시키죠

이제 감이 옵니까?....

를 

새로운 축으로 보고

를 새로운 축으로 보면 어떻습니까?

그렇습니다. 분수함수는 알고 보면 쌍곡선이었던 것입니다.

이것의 정확한 증명은 생략합시다. 여기의 주제는 쌍곡선은 점근선이 있다는 것을 보여 드린 것이니까요.

방금 그림을 모두 원점을 중심으로 만큼 시계방향으로 돌리면 이렇게 됩니다.

그렇습니다. 쌍곡선은 점근선이 있습니다.

점근선은 어떻게 구할 수 있나요?

원래 점근선이란 일 때 어떤 값 또는 어떤 직선으로 가는 것인가 하는 것인데.

 일단 암기법부터 먼저 배우고 증명 합시다.

분수 함수

에서의 점근선은 이를 를 곱하면 입니다.

여기서 을 으로 고친 것이 점근선입니다. 즉, 또는 이다.

쌍곡선의 방정식

 에서는 을 으로 고친

이 점근선이 됩니다.

​

즉, 입니다. 이를 증명하고 정리 합시다.

​

	[증명]
	쌍곡선의 방정식             ……㉠ 을 에 관하여 풀면          이다. 여기서 가 한없이 커지면 은  에 한없이 가까워지므로 쌍곡선 ㉠은 두 직선 , 에 한없이 가까워진다.

 

위의 증명을 보면 이면 y가 이거나 이지 않느냐?

 라고 할지도 모르겠습니다. 그 말도 맞습니다.

그런데 우리가 의미 있다고 생각 되는 것은 직선의 방정식이므로

 를 그대로 남겨 둔다고 생각을 하면서 증명하시면 됩니다.

그렇다면 

는 일 때 이기도 하지만

 이면

 에 비해서 가 훨씬 크므로

에 가까이 간다.

이런 식으로 해석 할 수도 있다는 말입니다.

극한의 세계는 딱딱 떨어지지 않습니다.
조금은 이런 수학적 사고를 받아들이는 것이 정신 건강에 좋겠죠?? 여기 까지가  교과서 증명입니다. 더 엄밀한 증명을 원하면 이 곳을 누르긔

​

​

이제 정리합시다.

쌍곡선에서의 점근선의 방정식

식	그래프	점근선

두 쌍곡선의 점근선은

 로 모두 같다.

점근선 암기 하셨죠?

위의 그림에서 보면 원이 있습니다.

이 원은 초점의 좌표를 혹시 잊어 버렸을 때 유용하게 쓸 수 있는 것입니다.

쌍곡선의 절편과 허절편(제가 만든 용어입니다. 맞는지 이 단어에 대해서 책임 못짐)으로

이루어지는 사각형을 그린 후 

​중심이 원점이고 원점에서 귀퉁이 즉 까지의 거리를 반지름으로 하는 원을 그리면 초점이 지나게 됩니다.

반지름의 길이가 이므로

원의 방정식은 이고 은 이 원위에 있을 수 밖에 없습니다.

이는 방금 배운 강의에서 을 만족한다는 내용과 같은 내용이죠.

또한 원점과 각 귀퉁이를 이은 선이 점근선이라고 외우면 됩니다.

즉, 그림은 복잡해 보이지만 한번 연습해 놓으면 혹시 기억을 되돌릴 수 있겠죠?

그러면 아래 문제들 연습해 봅시다.

쌍곡선 의 점근선의 방정식을 구하고, 그 그래프를 그리시오.

, 이므로 점근선의 방정식은

 

꼭짓점의 좌표는 , 이므로

쌍곡선의 그래프는 아래 그림과 같다.

두 직선 를 점근선으로 하고, 점 을 지나는

쌍곡선의 방정식이

일 때,

의 값은 ?단,

주어진 쌍곡선의 방정식

 에서 점근선의 방정식이

이므로 

   

  즉     …… ㉠
또, 점 이

쌍곡선 위에 있으므로
            …… ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
      

 

 쌍곡선의 평행이동에 대해서 살펴봅시다. 평행이동 세 번째입니다. 포물선, 타원에서 우리는 이미 평행이동에 대해서 공부 했습니다. 쌍곡선의 경우도 마찬가지 이겠죠.

축의 방향으로 만큼 평행이동 하면 대신에 을 대입한다.

그 이상은 잔소리 끝..

그러면 정리해 볼까요

쌍곡선의 평행이동

❶  

   

❷  

    

나머지 초점, 중심의 경우는 점의 이동이니까 좌표는 을 더하고

좌표는 을 더하면 됩니다.

이를 그림으로 나타내면 아래와 같이 됩니다.

이 부분은 세 번 씩이나 반복하니 설렁설렁 해도 되겠죠?

설렁탕이나 한사발?? ( 와~~ 이건 위험한 드립이다. ) ㅈㅅ.

그것을 이용해서 쌍곡선의 방정식의 일반형을 구해 봅시다.

의 식을 전개 하면 나오는 항은 무엇입니까?

항, 항, 항, 상수항 이렇게 나옵니다.

그래서 정리하면

쌍곡선의 방정식의 일반형

 꼴입니다. 그런데 확실한 것은 의 부호가 다릅니다.

임을 알 수 있지요.

엄밀하게는 항이 있어도 쌍곡선이 될 수도 있습니다.

일반형을 가지고 표준형으로 고치면 쌍곡선에 대한 정보들을 쉽게 얻어 낼 수 있겠죠?

그럼 문제 풀어 보세요.

 방정식 이 나타내는 도형을 그리시오.

주어진 방정식이 나타내는 도형은

쌍곡선 을 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼

평행이동한 쌍곡선이겠네요.

그러므로 중심은 으로 옮겨집니다.

또한 원래의 의 절편이 이었으므로

중심 에서 을 더한 이 꼭짓점 중에 하나가 될 것이고

​에서 을 더한 이 꼭짓점이 됩니다.

따라서 그래프는 아래와 같습니다.