포물선이란 물체를 던졌을 때 나타내는 선이란 뜻이 있습니다. 수학적으로 포물선이 무엇인지 아래를 보도록 합시다.
포물선을 이루기 위해서는 필요한 것은 정해진 점 하나, 그리고 정해진 직선 하나가 있습니다. 이 때 그 정해진 점과 정해진 직선과의 거리가 같은 점의 자취를 포물선이라고 합니다.
위 그림에서 정해진 점 와 정해진 직선 이 있습니다. 포물선의 정의에 따라 그림을 그려보면 위의 파란선 모양이 됩니다. 그렇다면 포물선의 용어들을 정리 하고 암기를 해야 될 텐데요. 새로운 것이 나올 때는 “포미닛의 정신” 이 필요 하죠? 새로운 사람을 만나면 언제나 이름이 뭔지 물어보고 암기 하죠?
<포미닛> 이름이 뭐예요? (2013.4.25.) (2:48초) 혹시 깜놀주의 점 F의 이름이 뭐예요? 전화번호 뭐예요? 아참. 포물선은 전화번호가 없지 그래도 "four 물선이니까... 4가 포함 될꺼야. 포물선은 4가 중요하거든
이런~!!
ㅋㅋㅋ
위의 용어들 다 암기 하셨죠? 그렇다면 포물선이란 “초점에서 이르는 거리와 준선에서 이르는 거리가 같은 점의 자취” 라고 깔끔하게 정리 할 수 있겠지요?
앞의 포물선의 정의를 바탕으로 해서 이를 좌표평면에 나타내어 보기로 합시다. 먼저 결과부터 정리 하고 이를 증명합시다.
포물선이란 준선에서 이르는 거리와 초점에서 이르는 거리가 같다는 것을 의미하고 자취의 방정식을 구할 때는 구하는 점 를 로 두어서 와 의 관계식을 구하면 됩니다. 그러면 이 내용을 바탕으로 번의 내용을 증명하겠습니다.
[증명]
이 아닌 실수 에 대하여 좌표평면 위의 점 을 초점으로 하고, 직선 를 준선으로 하는 포물선의 방정식의 증명
포물선 위의 임의의 점 에서 준선 에 내린 수선의 발을 라고 하면 이다.
이때 , 이고 포물선의 정의에 의하여
이므로
이다. 이 식의 양변을 제곱하여 정리하면 다음과 같다.
[증명 끝]
자 저처럼 예쁘게 증명이 되었습니다.
오~ 마이 갓!!
아.. 이거 뭐지???
<앤씨아> Oh my god (2013.11.13.) (15-20초) 난 칠판에 써 있는 수학 공식이 보이지? 왜 그런 거야?
와우~~!! 오우 마이 갓!!
아 그럼 저는요.
<걸스데이> 오 마이 갓 (2012.4.17.)
야 너까지 왜 그래? 갈수록 태산이야.
나도 모르게 그만. 걸스데이가 생각 났어.
걸스데이. 오 마이 갓도 좋지. 한창 춤 출 때(지금도 배움)여자 춤도 재미있어서 이거 배워 봤는데 재미있었어.
하하하
쌤 근데 왜 제가 더 부끄럽죠?
갓 동주 형님께서 한 점 부끄러움이 없어 라고 하셨어.
아. 시인 윤동주요?
어 이제 아네. 그 다음 내용도 중요하니 우~우우 우~으우우 우으우으 기대해~!!
ㅋㅋㅋ
<걸스데이> 기대해 (2013.3.13.)
이거 재수학원에서 수업 때 춰 줬더니 여학생들은 즐거워 하고 남학생들이 부끄러워 하더군. 이건 어떤 시츄에이션?
그렇다면 ❷에서 준선이 이고 초점이 일 때
이라고 했는데요. 이것은 를 유도하는 과정과 비슷하고 두 방정식은 에 대칭이 됩니다. 그러므로 아래와 같은 그림을 얻어 낼 수 있겠네요. 또한 는 가 되어 예전에 우리가 배운 이차함수의 식이라는 것도 알 수 있겠죠?
그러면 위의 결과를 적용 해 봅시다. 공식을 암기해야 되냐구요? 그렇습니다. 평면곡선(이차곡선) 단원에서는 공식을 암기 하는 것이 좋습니다. 물론 기본문제를 풀 때는 공식을 쓰지 않고 정의를 바탕으로 한번 풀어 보시고 숙달 되었을 때는 공식을 이용합니다.
그렇다면? 문제를 푸센~!!
초점이 , 준선이 인 포물선의 방정식을 구하시오.
초점이 축 위에 있을 때는 우리가 배운 이차함수 형태의 포물선이 나오진 않을 것입니다. 그러므로 방금 외운 공식 중 가 될 것이고 의 값은 가 되겠네요. 따라서 풀이는
에서 이므로 이고, 그 그래프는 왼쪽 그림과 같다.
포물선의 방정식 정리 하셨지요?
방금 배운 내용을 바탕으로 다양한 그래프의 형태를 알아보도록 하겠습니다. 방금까지는 모두 일 때만 다루었는데요. 일 때는 어떻게 되는지 알아보겠습니다. 먼저 그림을 쏩니다. 쏘세요~~!!
쏠 때는 일점사가 중요해!! 난 서든 어택 1킬 40데쓰 한 이후로 절대로 안 해
아 참, 정도 되지
위에서 봤을 때 일 때는 그래프가 대칭성을 가진다는 것을 알 수 있습니다. 각 또는 의 부호가 바뀐다고 생각할 수 있으니 당연히 축 대칭인 모양이 나오겠지요. 오른쪽 위의 그래프는 왼쪽 위의 그래프를 축 대칭이동 한 것입니다. 가 음수가 된다는 말은 왼쪽 위에 있는 식에서 의 부호를 바꾸었다고 생각 할 수도 있는 것이지요.
위의 네 그래프를 예술작품 감상하듯이 감상하세요. 세밀하게 감상하셔서 피카소처럼 모든 사물을 입체도형으로 파악하는(큐비즘)단계 까지 득도하여 돈오점수의 경지에 올라야 합니다.
아. 쌤 돈오점수가 뭐예요?
아참 여기 이과 학생만 있지? 착각했어. 돈오점수란 “점수를 잘 따는 경지”를 말해요.
아~~ㅋㅋ.
그러면 아래 간단한 연습문제와 답을 넣었으니 한 번 연습해 보고 다음 내용 보겠습니다.
포물선 의 초점의 좌표와 준선의 방정식을 구하시오.
이므로
따라서 초점의 좌표는 ,
준선의 방정식은
이다.
초점 이고 준선 인 포물선의 방정식은?
초점이 이고
준선이 이면 꼴이다.
즉, 이므로
포물선 의 초점, 꼭짓점, 준선의 방정식을 구하시오.
에서 이므로
초점의 좌표는
꼭짓점의 좌표 원점
준선
아래 그림의 포물선에서 점 는 초점이고 점 는 꼭짓점이다. , 일 때, 의 길이는?(단, )
① ②
③ ④
⑤
이 포물선의 준선을 이라 하고 점 와 에서 준선에 내린 수선의 발을 각각 라 하면 이다. (∵ 꼭짓점 O에서 초점까지 거리와 준선까지 거리가 같으므로)
따라서,
또, 포물선 위의 점 에서 초점 까지 거리와 준선까지의 거리가 같으므로 ,
따라서, 직각삼각형 에서 피타고라스의 정리에 의하여
돈오점수 검색 해 본 거 아니지?
우리가 배운 포물선의 방정식의 표준형에서 이를 평행이동 해 봅시다. 도형의 평행이동시간에서 도형을 축으로 만큼 평행 이동할 때 우리는 대신에 을 대입하는 사실을 잘 알고 있습니다. 그렇다면 식은 아래처럼 되겠네요.
그러면 축이나 초점등은 어떻게 바뀔까요?
방정식
방정식
꼭짓점의 좌표
꼭짓점의 좌표
초점의 좌표
초점의 좌표
준선의 방정식
준선의 방정식
그렇게 어려운 내용은 아니죠?
그러면 문제 풀어 보세요~!!
포물선 의 초점, 꼭짓점, 준선의 방정식을 구하고 그래프를 그리시오.
를 축으로 만큼 축으로 만큼 평행이동한 포물선이다.
초 점
꼭짓점
준 선
따라서 그래프는 아래와 같다.
방정식 가 나타내는 도형을 그리시오.
주어진 방정식을 변형하면
따라서 이 방정식이 나타내는 도형은 포물선 를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 포물선이고, 그 그래프는 아래 그림과 같다.
포물선의 평행이동에 대해서 배웠습니다. 그렇다면
에서 이 도형을 축으로 만큼 축으로 만큼 평행이동 시키면
이므로 이를 전개하여 정리하면 남는 항은
, , , 상수항 이렇게 남습니다. 그런데 이면 의미가 없으므로 의 항은 반드시 있어야 합니다.
꼴이면 이것도 포물선의 방정식이 되겠네요. 같은 방법으로 도 위와 같이 하면
꼴이 됩니다.
이를 다시 정리 하면
입니다. 그러니까 문제에서 축이 어디에 평행한지를 가지고 위의 식 중에서 하나를 쓰면 되겠네요. 그렇다면, 축이 어디인지를 알 수 있을 때 서로 다른 세 점이 주어지면 포물선은 유일하게 하나로 결정이 된다는 사실도 알 수 있죠?
또한 이 일반형을 표준형의 평행이동 꼴
로 고치면 포물선에 대한 다양한 정보를 쉽게 알아 낼 수도 있겠지요?
위의 식을 다시 살펴보면 우리는 포물선의 방정식의 특징을 아래와 같이 정리 할 수 있겠습니다.
문제를 풀어 봅시다. 다음 내용은 타원에 대해서 살펴보겠습니다.
쌤. 이 단원이 기벡에 있어서 어려운 줄 알았는데 생각 보다 그렇게 안 어렵네요.
이차곡선 까지는 상대적으로 쉽습니다.
포물선 의 초점의 좌표는 이고, 준선의 방정식은 이다. 이 때, 의 값을 구하면?
을 표준형으로 변형하면
에서
㉠은 포물선 를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다.
그런데 의
초점은 이고, 준선은 이므로
㉠의 초점은
준선의 방정식은
포물선 의 초점과 직선 사이의 거리는?
, … ㉠
포물선 ㉠은 를 축 방향으로 만큼 평행이동한 것이므로 의 초점 을 같은 조건으로 이동하면 가 된다.
