[기본개념] 이차곡선의 접선의 방정식

 이차곡선의 접선의 방정식은 세 가지로 나누어서 해결 합니다.

1. 접점이 주어질 때

2. 도형 밖의 점이 주어질 때

3. 기울기가 주어질 때로 구분하여 진행합니다.

포물선, 타원, 쌍곡선의 접선의 방정식을 차례로 보게 됩니다.

급한 사람은 강의가 위의 순서로 되어 있으니 참고 하시길 바랍니다.

더 급해서 공식만 필요 하다면 여기 살포시 눌러  

  이차곡선의 접선의 방정식을 학습하도록 하겠습니다. 새로 개정된 기하와 벡터의 교과서에 입각하여 음함수의 미분법을 이용하여 학습하도록 합니다.

음함수의 미분법

음함수의 미분법을 이용하려고 합니다. 그것 모르면 여기 살포시 누르긔

시작~~!!

  먼저 접점이 주어질 때의 접선의 방정식을 아래와 같이 정리 해 놓고

하나씩 보도록 하겠습니다.

  접선이라는 것은 직선입니다. 접선의 방정식은 결국 직선의 방정식을 구하는 것으로 기울기와 한 점만 알면 우리는 접선의 방정식을 쉽게 얻어 낼 수 있지요.

접점이 주어진 경우는 기울기만 구하면 되겠죠?

  예를 들어 타원의 경우를 볼까요?

 위의 점 이 있다고 합시다.

이 때 양변을 음함수의 미분법을 이용하면

이 되네요.

그러므로

입니다. 그런데 위의 점에서의 기울기이므로

이 점에서의 기울기는 위의 식에 대신 , 대신 을 대입하면 되므로

가 됩니다.

따라서 접선의 방정식은

 

이 되는 것이지요.

이것을 풀면 됩니다. 푸는 과정에서 점 은 타원

  

위의 점이므로

 을 이용하시면 됩니다.

그러면 아래에 증명 과정을 남기도록 하겠습니다.

 먼저 포물선에서 접점이 주어질 때의 접선의 방정식에 대한 증명입니다.

	[증명] 포물선
	에 접하는 직선의 기울기는 점에서의 미분계수이다. 포물선을 음함수의 미분법을 이용하면      따라서 기울기는 ​이다. 또 점을 지나므로      양변에 을 곱하면        ㉠ 은 위의 점이므로       이것을 ㉠에 대입하여 정리하면       [증명 끝]

 

  그 다음은 접점이 주어질 때 타원의 경우입니다.

	[증명] 타원
	(i) 일 때, ​의 양변을 에 대하여 미분하면         , (단, ) 점 에서의 접선의 방정식은 이 식의 양변에  을 곱하여 정리하면            ……㉠ ​ 그런데 점 은 타원 위의 점이므로 ​이고, 이것을 ㉠에 대입하여 정리하면         ……㉡ (ii) 일 때, 접점이 또는 이므로      구하는 접선의 방정식은       또는 따라서 이 경우에도 접선의 방정식은 ㉡과 같이 나타낼 수 있다. [증명 끝]

 

  쌍곡선의 경우는 타원과 비슷하므로 생략하도록 하겠습니다.

그러면 이 공식들을 계속 음함수의 미분법을 이용해서 할 수는 없습니다. ( 물론 처음에는 공식을 기억하지 않고 음함수의 미분법으로 문제를 5-6문제정도는 풀어 보고 공식을 암기하는 것을 원합니다만... )

공식을 암기해야 됩니다. 암기를 할 때는  

접점이 주어질 때 접선의 방정식은 문자들이

아래와 같이 변한다는 사실을 기억하시면 됩니다.

예를 들어,  라는 포물선에서

대신에 ,

대신에

를 대입하여

라는 포물선 위에서의 접선의 방정식이 얻어 지는 것입니다.

  그러면 문제 몇 개 풀어 보고 마무리하시길 바랍니다.

 

 

 

 

 

 

  이차곡선의 접선의 방정식에서 도형 밖의 점이 주어질 때의 접선의 방정식을 학습합니다.

이 내용을 하기 위해서는 접점이 주어질 때의 접선의 방정식을 알고 있어야 합니다.

몰랐다구요? 성질도 급하네요. 위에 것 다시 보고 오세요.

 

시작 

  도형 밖의 점에서 그은 접선의 방정식을 구하기 위해서는 ‘카라의 정신 ’으로 하셔야 합니다.

  카라의 정신은 뭐예요?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<카라> STEP (2011.9.1.)
정해진 STEP에 맞춰서 하는 거지

 

 

  아~~ 이런.

  알았어... 알았어.. 조금 자제 할게

 그래도 끝까지 할 거야. 아. 이 때 한승연 아주 좋아 했었는데...

 

 

  정해진 순서에 맞추어서 해결해 봅시다..

    STEP을 정리 하고 차례대로 해 봅시다.

접점의 좌표를 놓고

접점이 주어질 때의 접선의 방정식을 이용합니다.

밖의 점 대입 하고, 접점이 도형위의 점이란 것을 가지고 식을 2개 만듭니다.

연립하여 접선의 방정식을 얻어 냅니다.

점 에서 타원 에 그은 접선의 방정식을 구하시오.

접점의 좌표를 이라 놓으면

 위의 점 에서의 접선의 방정식은

 

을 ㉠에 대입하면

정리하면   

또한 은 곡선 위의 점이므로

를 연립하여 풀면

 또는

이를 STEP2에서 구한 ㉠ 에 대입하면

구하는 접선의 방정식은

 또는

  STEP3에서 식을 두 개 만들어 연립한다는 것이 포인트입니다.

  문제 몇 개 풀어 보센!!  다음 시간에는 기울기가 주어졌을 때의 접선의 방정식을 보도록 하겠습니다. 

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  이차곡선의 접선의 방정식에서 마지막 기울기가 주어질 때를 살펴보도록 하겠습니다. 이 부분도 새로 개정된 과정 음함수의 미분법을 이용해서도 충분히 증명을 할 수는 있습니다. 그러나, 그 전 과정에서는 모두 음함수의 미분법을 이용해서 해 보았기 때문에 이차곡선과 직선의 위치관계를 가지고 증명을 해 보도록 합시다.

그러면 이 부분을 해결하기 위한 선수 개념을 확인 합니다.

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이차곡선과 직선의 위치관계

이차곡선은 2차방정식이고 직선은 1차방정식이므로 연립하면 한 문자에 대한 이차방정식을 얻어 낼 수 있습니다. 방정식과 함수의 관계에 의하여 우리는 방정식을 함수의 관계로 이끌어 내어 판별식을 이용할 수 있죠? 몰라?? 여기를 즈려 밟아 주시옵소서

 

시작

  그러면 기울기가 주어질 때 접선의 방정식에 대해서 공식을 먼저 보고 다음 내용 보도록 하겠습니다.

  이 부분을 예전 교육과정이기는 하지만 이 과정을 통해서 문제 해결의 도구를 하나 더 알아 낼 수 있습니다. 그래서 일단 증명을 하도록 하겠습니다.

  쌤. 이 공식 암기 해야 되나요?

  당연한 것을 가지고. 시험은 시간이 정해져 있기에 평소 공부할 때는 다양한 방식으로 풀더라도 공식을 암기를 하고 있어야겠죠?

기울기가 주어졌을 때 포물선의 접선의 방정식의 증명입니다.

	[증명] 포물선
	구하는 접선의 방정식을 으로 놓고, 이것을 포물선의 방정식 에 대입하여 정리하면         이다. 이 이차방정식의 판별식을 라고 하면         이므로  이다. 따라서 구하는 접선의 방정식은 다음과 같다.         (단, ) [증명 끝]

 

 

 

 

 

  기울기가 주어질 때 타원의 접선의 방정식의 증명 과정입니다.

	타원
	구하는 접선의 방정식을 으로 놓고, 이것을 타원의 방정식 에 대입하여 정리하면 이다. 이 이차방정식의 판별식을 라고 하면          이므로   이다. 따라서 구하는 접선의 방정식은 다음과 같다.

 

 

 

 

 

 

  쌍곡선은 비슷하니 사실상 위의 두 개 정도만 증명을 해 보세요. 이 부분만은 공식을 암기하는 것이 더 중요합니다. 개인적인 생각으로는 새 과정의 기하와 벡터에서는 음함수의 미분법을 새로운 과정에 도입함으로써 공식을 암기 하는 내용을 많이 다루지는 않는다는 것 같습니다. 그럼에도 그 동안 해 왔던 것들이 있기에 공식을 암기 하는 것이 조금 더 낫다는 생각입니다.

그러면 아래의 문제를 해결 해 봅시다.

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