[기본개념] 음함수의 미분법

  음함수의 미분법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 먼저 새로운 용어 음함수가 무엇인지를 알아 봐야겠네요. 우리가 보던 함수는 양함수라고 하기도 합니다. 걍함수입니다. 음함수란 한마디로 이야기 하면 모든 도형은 음함수라고 할 수 있는데요. 으로 표현 되면 모두 음함수라고 이야기 합니다.

중심이 이고 반지름이 인 원을 봅시다.

이 원은 함수 입니까? 아닙니까?

당연히 아닙니다. 의 값 하나에 의 값이 두 개 대응되는 경우가 있죠?

그런데 이 원을 위의 그림처럼 빨간원, 노란원으로 두 개로 쪼개()면

위의 빨간 반원도 함수가 되고 파란 반원도 함수가 됩니다.

쪼개다는 영어로 Smile ~~!!

 이와 같이 의 값을 적당히 정했을 때 의 함수 를 정할 수 있고 이를 음함수 표현이라고 합니다.

그러니까 모든 도형은 어떻게든 쪼개면 함수가 되므로 걍

이면 음함수라고 생각 하면 됩니다.

  쌤. 그럼 왜 음함수라고 배워요?

  수학적으로 용어를 소중히 하는 마음을 가져야겠죠? 그런데 이해하기 쉽도록 용어를 만들면 될 텐데요. 음함수는 그래도 나은 편 아니니? 한자어들이 너무 많아서 학생들이 배우기 힘들게 느껴지는 것 같네요. 어쨌든 정리 합시다.

음함수표현

원래는 의 범위를 적당히 정할 때 의 함수 를 정할 수 있는 함수이나.
걍 은 모두 음함수라고 생각 하면 된다.

 

  아주 실용적으로 정리 해 주셨네요.

  ㅠ.ㅠ.

   음함수의 미분법을 이용할 때는 를 함수로 보고 미분을 하면 됩니다. 즉, 로 보는 것이죠. 예를 들어 보도록 하겠습니다.

예제

다음의 음함수에서 를 구하시오.

 

우선 로 보고 양변을 에 대해서 미분하면

이야 미분하는 것은 누구나 아는 가 될 것이고

을 미분할 때 살짝 긴장을 해야 되는데

을 미분한다고 생각을 하면 가 되니까

다시 로 보면

이 되겠지요.

즉 를 미분할 때만 에 대해서 미분 하고 을 한번 더 써 주면 되겠네요.

따라서

이 되므로

 가 되겠습니다.

또는 여러분들 정적분의 치환적분을 할 때

으로 두면

​

 로 둔 적이 있을 것입니다.

​

이것처럼 에 대해서 미분한 다음 뒤에 를 써 주고 에 대해서 미분한다음 를 쓰듯이 해결해도 됩니다.

​

에서

이렇게 되겠지요?

그런 다음 를 구하면 되겠습니다.

 가 되겠네요.

두 가지 방법 중 편한 방법으로 하시고 수능에서는 어떻게든 써도 되고 고등학교 학생이라면 수학 선생님께 의 표현을 서술형에서 써도 되는지 물어 보십시오. 수학적으로는 맞는 방법이나 교과서는 이렇게 씌여 있지 않거든요.

자 그럼 아래 문제를 한번 연습해 봅시다.

다음의 음함수에서 를 구하시오.

 

 의 양변을 에 대하여 미분하면

 

  

다음의 음함수에서 의 식을 구하시오.

의 양변을 에 대하여 미분하면

​

 

​

 

​

  음함수가 주어졌을 때 접선의 방정식을 구하는 방법에 대해서 살펴보도록 하겠습니다.

 기울기와 지나는 점이 주어 졌을 때 접선의 방정식은 쉽게 구할 수 있죠.

 기울기가 이고 지나는 한점이 인 접선의 방정식은

 또한 미분 시간에 함수 위의 점 에서의 접선의 기울기는 라는 것을 이미 알고 있습니다. 이를 통하여 접선의 방정식은

라는 것을 이미 배웠습니다.

  음함수를 통해서 역시 기울기를 구할 수 있고 그것을 통해서 접선의 방정식을 구할 수 있겠네요.

예를 들어 보면 원 위의 점 에서의 접선의 방정식을 구합시다.

고등학교 1학년 과정에서의 원의 방정식을 배웠다면 이것을 여러 가지 방법으로 해결을 할 수가 있는데 그 방법 말고 음함수의 미분법을 이용하는 것입니다.

그러면 를 음함수 미분하면

가 됩니다.

이 때 위의 점 를 위의 도함수에 대입하면

가 됩니다. 이 것이 원 위의 점 에서의 접선의 기울기입니다.

따라서 기울기는 이고 접점이 이므로 구하는 접선의 방정식은

 이므로 

이 식을 존슨즈 베이비 로션을 바르면 (깨끗해요.)

 가 되어서

고1때 배운 식

 위의 점 에서의 접선의 방정식은

의 결과와 일치 한다는 것을 알 수 있죠.

 

 

 

 

깨끗해요 

Johnson’s baby lotionify ( 깨끗해하게 하다.)

 결과는 별것 없죠?

그냥 음함수를 미분한 식이 도함수라고 생각한 다음 기울기를 구하면 됩니다.

음함수의 도함수에서의 접선의 방정식

음함수의 미분의 결과로 나온 식은 도함수와 같은 역할을 한다.
따라서 이것으로 접선의 기울기를 쉽게 구할 수 있다.

  그러면 아래 연습 문제를 여러분들이 해결 해 봅시다.

곡선 위의 점 에서의 접선의 기울기는?

의 양변을 에 대하여 미분하면
    
따라서 점 에서의 접선의 기울기는
  

답 :

곡선 위의 점 에서의 접선의 방정식은?

에서

 

구하는 접선의 방정식은

 

이다.