[심화보충] 점근선을 구하는 엄밀한 방법

점근선을 엄밀하게 구하는 방법에 대해서 알아봅니다.

점근선은 직선입니다. 그러므로 점근선의 방정식은 라고 놓을 수 있죠?

특정한 함수 에 대하여 일 때의 점근선의 방정식은

 으로 두면 됩니다. 그런 다음 를 구하면 됩니다.

사실상 교과서에는 이런 방식으로 증명하고 있지는 않습니다만, 조금이라도 심화된 내용으로 엄밀하게 증명하고자 하는 학생이라면 이런 방법으로 보이는 것도 재미있는 방법이죠?

 에서 점근선이 임을 보이는 예

 를 이용하여 점근선이 임을 보이는 증명

점근선의 방정식을 라 하자.

에서 

에서 

 이므로

 이다.

따라서 점근선의 방정식은 이다. [증명 끝]

쌍곡선의 점근선의 방정식을 보이는 엄밀한 예

참고로 쌍곡선의 점근선의 방정식의 교과서 증명은 여기를 클릭해서 중간쯤으로 찾아가면 됩니다.

 에서

이므로

이다. 여기서 의 점근선을 구하자.

점근선의 방정식을 라 놓으면

 

 으로 두면

이를 유리화 하면

에서

㉠에서 이므로 위의 식에서 이고 이므로

이고 이다.

따라서, 가 점근선이다. 마찬가지 방법으로 일 때 같은 방법으로 하면 가 점근선이므로 가 점근선이 된다. [증명 끝]

지금은 대략 이렇게 하는 것만 보여드리기 때문에 무한대-무한대 꼴의 수열의 극한값의 발산을 빠르게 적용하면

 에서

 가 되고 이 된다는 것은 쉽게 보일 수 있겠죠?

그래서 점근선은 라고 볼 수 있습니다.