[보충] 벡터로 표현한 코시-슈바르츠 부등식

 코시슈바르츠 부등식은

  과

이 

성립한다는 것이었습니다.

  이므로

이를 양변을 제곱하면

 

입니다. 

이고 일 때 등호가 성립하므로 등호는 일 때가 되겠습니다.

여기서 , 로 두면

또한 3차원에서도 마찬가지입니다.

, 로 두면

로 둘 수 있으며

등호 조건은 일 때가 됩니다. 그러면 부등식 시간에 배웠던 코시-슈바르츠 부등식과 완벽하게 일치 하는 것임을 알 수 있습니다.

 이처럼 벡터를 이용하면 여러 차원에서 각각 따로 배우던 방정식을 단순한 형태로 변형을 할 수 있다는 것입니다. 그러기에 수학자들은 이것을 아주 중요하게 생각 해 왔고, 고등학교에서 벡터를 배우는 또 다른 목적이기도 합니다. 다양한 수학적인 개념을 언어로 생각하여 그 다른 종류의 언어들을 통합하는 사고가 중요하다는 것을 말해 주는 대표적인 예라고 할 수 있습니다.