[기본개념] 분수함수의 일반형과 점근선의 방정식

이 강의에는

1. 분수함수의 일반형에 대한 내용

2. 분수함수의 일반형에서의 점근선 구하기

이렇게 2개로 구성 되어 있습니다.

혹시 다른 분수함수에 대한 기본개념의 내용을 보려면 여기를 누르쉐!!

 분수함수의 일반형에 대해서 살펴봅니다. 분수함수의 표준형에서 통분을 한 형태가 일반형이 되겠죠?

그래서 일반형은

와 같이 정리 할 수 있습니다.

 분수함수의 일반형은 표준형으로 고쳐서 문제를 해결하면 됩니다.

분수함수의 표준형은 꼴이었고 분수식에서 분자를 상수로 고쳐서 생각하면 됩니다.

예를 들어서 을 고치려면

위와 아래를 똑같이 만드는 식이 필요 하겠죠? 그래서 을 로 고친 후에 표준형으로 고치면 됩니다.

이 됩니다.

이렇게 고치기만 하면 방금 배운 분수함수의 표준형을 이용하여 그래프를 그릴 수 있을 것입니다.

 

함수 의 그래프를 그리시오. 또, 점근선의 방정식을 구하시오.

분자의 의 계수는 3이고 분모의 의 계수는 1입니다.

분모가 이므로 분자를 이것을 세배를 한 으로 쪼개어서 생각합니다.

의 그래프를 축으로 , 축으로 만큼 평행이동 한 것이다.

점근선 : 이고 그래프는 아래와 같다.

복잡한 분수식을 표준형으로 바꿀 때

 위처럼 간단한 식을 표준형으로 바꿀 때는 차수를 낮추기가 쉬울 것입니다.

그런데 복잡한 경우는 사실은 나누기 계산을 하는 것입니다.

 를 고칠 때

는 보기 싫으니까 이라 두면

그러면

입니다.

  

가 됩니다. 즉, 어떤 복잡한 식이라 하더라도 직접 나누기 연산을 통해서 분자의 차수를 낮출수 있다는 것을 의미합니다.

분수함수에서 중요한 점근선

 분수함수에서 아주 중요한 점근선의 방정식을 봅시다.

우리는 분수함수의 표준형시간에서 이미 점근선의 방정식을 얻어 낸 적이 있습니다. 아래 부분이 잘 이해가 안 되면 다시 앞강의 보고 오세요. 여기 누르긔

위의 식에서

 

로 정리 된 것에서 분모가 이면 이 되어 가 될 것이고

가 없다고 생각하면 가 됩니다.

그것을 통해서 우리는 암기하기 쉽도록 아래와 같은 그림을 머릿속에 넣으면 됩니다.

분모가 이란 것에서

최고차항의 계수의 비 가 됩니다.

 이 사실은 나중에 배울 함수의 극한에서 일 때 의 값과 일치합니다.

 일반형에서의 점근선의 방정식을 쉽게 얻어 낼 수 있을 것입니다.

그렇다면 간단한 예제를 통해서 점근선의 방정식을 얻어 내 봅시다.

 에서의 점근선의 방정식은요?

분모가 0일 때입니다. 이라고 써야 겠죠? 그냥 이라고 쓰면 안됩니다.

분자와 분모의 일차항의 계수의 비가 이죠? 이라고 써야 됩니다. 

그래서 우리는 점근선의 방정식을 으로 쉽게 얻어 낼 수 있습니다.

 밑의 연습문제는 분수함수의 일반형을 표준형으로 고쳐서 점근선의 방정식을 얻어낸 일반적인 풀이입니다. 그렇게 풀고 나서 방금 위에 했던 것과 비교 하면서 암기하면 되겠습니다.

함수 에서 점근선의 방정식이 , 일 때, 의 값을 구하시오.

에서,

점근선의 방정식은, 이다.

 그래프가 주어지고 분수함수의 식을 구하는 문제도 시험에서 자주 출제 되는 부분이죠?

함수 의 그래프가 그림과 같을 때, 상수 의 곱 의 값은?

 

점근선 에서 분모 과 일치한다.

은 분수함수 에서 의 최고차항의 계수의 비와 일치한다.

과 은 일치해야 하므로

따라서, 우리가 구하고자 하는 분수함수의 식은 일단 라고 할 수 있다.

여기서 를 구하기 위해서는 지나는 한 점 를 대입하여 를 얻어 낼 수 있다.

이므로 이다.

따라서  이다.