합과 일반항과의 관계에 이어서 등차수열과 등비수열의 일반항의 관계에 대해서 학습합니다. 등비수열의 합과 일반항의 관계는 이 페이지 뒷쪽에 있습니다.
등차수열의 합과 일반항을 배우기 위해서 여러분들이 미리 알아야 할 내용들을 확인합니다.
1. 등차수열의 합의 공식
우리는 저번 강의에서 등차수열의 합은
이라는 것을 본 적이 있습니다.
나만 몰랐던 이야기라구요?(설마 데자뷰?) 그럼 여기 누르쉬지.
2. 수열의 합과 일반항과의 관계
수열의 합과 일반항과의 관계는
이었죠. 이것 정확한 이유를 모른다구요? 그럼 여기를 즈려 밟아 주시옵소서
본격적으로 시작
등차수열의 합과 일반항과의 관계를 보겠습니다. 먼저 결과를 정리 하고 이유를 보고 다시 결과를 정리하고 이유를 보는 방식으로 하겠습니다.
위의 결과는 바로 전 강의에서
등차수열의 합은 
이라는 것을 이미 학습했습니다.
이 식에서 알 수 있는 것은 상수항이 없다는 것 보이시죠?
안구에 있는 세포 한 마리만 움직여도 상수항이 없다는 것 보일 겁니다.
그래서, 사실 우리는 등차수열의 합이란 것은
상수항이 없는 이차 이하의 식이기만하면 등차수열을 나타낸다는 것을 알 수 있죠.
이차 이하의 식이란 
처럼 등차수열의 합이 
에 대한 일차식이어도 상수항이 없기만 하면 일반항 
은 등차수열을 나타냅니다.
쌤. 뭔가 좀 애매한데요..
그렇죠.. 뭔가 잡히지 않을 것 같네요. 독일어로 “난 잘 모르겠어” 를 “애매모호~!” 라고 하죠. 그래서 간단한 예를 보도록 하고 문자로도 한번 증명을 해보기로 합시다.
수열 
의 첫째항부터 제 
항 까지의 합 
이
일 때 일반항 
을 구하시오
.
수열의 합과 일반항의 관계를 가지고 해결해 나가면 됩니다. STEP을 밟아서 해 나가면 되는 것이죠??
에서
에서
㉠에 
을 대입해보면 ㉠의 식이 
이므로 
으로 ㉡의 결과와 일치합니다. 따라서 
이라고 할 수 있습니다. 첫 번째 항부터 성립하는 수열이 되겠지요.
이를 문자를 써서 해 봅시다.
이라고 하죠.
그러면
에서
에서
㉡의 결과가 ㉠에 
을 대입한 결과와 일치한다.
따라서 
이다.
이처럼 상수항이 없는 이차식의 경우는 확실하게 등차수열을 나타낸다는 것을 알게 되었죠?? 이 사실을 ‘에이핑크의 정신 2번
' 으로 확실하게 기억하셔야 합니다. 에이핑크는 기억하는 것을 참 좋아 해요.
쌤. 그런데 위에 공식 다 기억해야 되나요?
아닙니다. 그럴 필요 없습니다. 이 강의 맨 뒤를 보다 보면 알게 될 겁니다. 단, 방금 말 했듯이 상수항이 없는 이차식이 등차수열이다는 사실을 기억하면 됩니다. 그걸 확인하는 과정이 중요한 것이지요.
기억해 줘.
<에이핑크> LUV (2014.11.23.)
<에이핑크> remember (2015.7.15.)
기억 좀 해 달라고!!!! 쫌.. 젭..알..
아 나의 에이핑크~~!!!
음.. 어쨌든.. 에이핑크 사랑하는 마음으로 기억하세요.. 뭐든지 “사소한 것까지 기억해야 하는 에이핑크의 정신 2번 
”입니다.
쌤 그런데 왜 맨날 여자 꺼만 올려요???
여자 껀 귀에 착착 감기는데. 음.. 곧 올릴 거야.. 기다려봐~~!!
이제 다음 내용도 결과를 먼저 정리하고 시작합시다.
수열의 합의 형태가
이면
즉, 상수항이 0이 아니면
이는 등차수열을 이루지 않는 것을 알겠죠?
그런데 이는 둘째 항부터 등차수열을 이루게 됩니다.
이는 우리가 예전에 배웠던 팁 중에서 
를 통해서 그 수열이
첫째항과 둘째항 이후의 식이 다른지 같은지를 빠르게 확인할 수 있었습니다.
모르겠나요? 이 강의 뒷부분 꼭 읽어 오세요.
이면
이면 즉, 
이면 첫째항부터 성립하는 식이 나오고
이면 즉, 
이면 첫째항과 둘째항 이후의 식이 다르게 나오겠죠?
그럼 위의 내용이 왜 성립하는지 이유를 알아 보겠습니다.
에서
에서 
일 때
㉠에 
을 대입하면 
이지만 ㉡의 결과와 일치하지 않는다.
따라서, 첫째항과 둘째항 이후의 식이 다르다.
그러므로
즉, 첫째항과 둘째항이 다르다는 것을 식을 통해서 확인 했고, 둘째항 이후 부터는 
에 대한 일차식이 되어 그 때 부터는 등차수열을 이룸을 확인할 수 있습니다.
수열의 합의 문제를 봤을 때는 언제나 
을 대입해봅니다.
그랬을 때 
이 안 된다면 이는 무조건 낚시 문제입니다.
이는 등차수열이든 등비수열이든 본 적도 없는 수열의 합이든 모두 마찬가지입니다.
예를 들어 
으로 주어져 있다면 
으로 
이 아닙니다.
그러므로 이는 첫째항과 둘째항 이후의 식이 다르다는 것을 먼저 확인 하고
“아 선생님이 나를 낚으려고 문제를 냈구나~~~!!”
라고 먼저 확인을 한 후 위의 내용을 따르면 되는 것입니다.
위의 내용을 에이핑크의 정신 1번 
으로 하셔야 됩니다.
에이핑크 1번 정신은 뭐예요?
<에이핑크> MyMy (2011.11.22.)
니가 기쁠때나 슬플때나 모든 것을 너의 것으로 만드는 거지.
꼭 두 번 만들어야 돼~!!
아 쌤 쫌....
아.. 좀 심했나..
여러분들 본다고 해서 모든 것이 자신의 것이 되는 것이 아닙니다.
혜이니
혜이니
혜이니
방금 여러분들 혜이니 세 번 봤습니다. 그런다고 혜이니가 여러분 것이 됩니까?
아닙니다. 최소한 혜이니 데뷔곡 '달라'부터 최근 신곡 '내 맘이' 까지는 알아야 되고
혜이니가 혼자서 찍고 노는 동영상도 좀 보고 해야 됩니다. 노력이 필요한 것이죠.
음. 그런데 내가 무슨 소릴 하고 있는 거죠?
그러니까 보는 것만으로 안되고 여러분들이 직접 써보고 확인 해보는 것이 필요하다는 소립니다.
ㅋㅋㅋ.. 아 쌤. 계속 여자꺼만 올리고..
알았어.. 지금 준비하고 있어. 드립 준비가 강의 준비보다 어려워..
음.. 그럼... 원래 없던 정신이었는데
오늘 이후로 정신 하나 만들죠.. “인피니트의 정신 
” 있죠.
<인피니트> 내꺼하자 (2011.8.1.)
이 강의 내용 니꺼해라~!!
이 부분도 조금 외우지 않고 빠르게 계산 할 수 있는 방법이 있지만 당분간은 위의 방법대로 하면 좋겠습니다. 다음에 기회가 되면 보충강의로 올리겠습니다. 다음 시간은 등비수열의 합과 일반항의 관계이고 그 다음이 원리합계로 진행 됩니다.
등비수열의 합과 일반항과의 관계를 학습하기 이전에 미리 알아야 될 내용을 정리합니다.
1. 등비수열의 합의 공식
등비수열의 합의 공식은
였죠? 잘 모르면 이리 온~!!
2. 합과 일반항과의 관계는
이었습니다.
본격적으로 시작
아래에 결과를 먼저 정리 해 놓고 시작합니다. 결과만 보고 가면 이 포스트에서 얻는 것은 별로 없을 것입니다.
등비수열의 합의 공식은 공비가 1이 아닐 때
입니다.
이 식의 우변을 전개하면
여기서 
, 
로 놓으면
꼴이 됩니다.
쌤. 
이니까
아닌가요?
그렇죠.. 오늘따라 왜이래?? 갑자기 수업에 집중하고..
저 원래 그런데요..
ㅎㅎㅎ..
그러니까 등비수열의 합의 꼴은
꼴이지만 
가 되어야 됩니다.
이 되네요.
즉, 
이어야 “정상적”인 등비수열의 합의 꼴이 되는 것입니다.
그렇다면 
이면 “비정상적”이므로 첫째항부터 등비수열이 되지 않습니다.
그런데 여러분들이 여기서 꼭 암기해야 될 내용이 있습니다. 그것은
는 것입니다.
그러면, 저번에 배웠던 미리 계산하는 방법을 알아보도록 합시다.
합의 공식에 
을 대입하여 미리 알아보는 방법 있었죠? 모르면 이리 오너라~!!
그렇다면 
꼴에서
첫째항부터 등비수열을 이루려면 어떻게 되어야 됩니까?
그렇습니다. 
이 되면 됩니다.
에다 
을 대입하면
인 결론이 나와서 예전의 결과와 일치한다는 것을 알 수 있네요.
이것에 대한 증명은 합과 일반항과의 관계를 통해서 증명을 하면 되는데 이것은 저번 강의의 내용과 비슷한 내용이므로 생략하겠습니다.
선생님 증명해 주시면 안되요??
미안합니다. “비스트의 마음
”이예요.
비스트의 마음은 뭐예요?
<비스트> 일하러 가야 돼 (2015.7.19.)
아쉽지만 이거 빨리 쓰고 수업 해야 돼 =“비스트의 마음”
선생님 빨리 해 줄 수 있잖아요. 증명해 주세요. 궁금해요.
음.. 이런 학생 1000명중에 3명인데 .
알았어요. 그러면 아주 빠르게 아래에 정리 합니다.
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[증명] |
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 에서  일 때
 
 일 때  이므로 
첫째항부터 등비수열을 이루려면
㉠과 ㉡에서  을 대입했을 때의 결과가 같아야 한다.
㉠에서  을 대입하면  이므로 
 이다.[증명 끝]
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여러분들 한번 풀어 보세요. 다음 시간은 돈 계산 문제에 대해서 살펴 보겠습니다.
