[기본개념] 수열의 합과 일반항과의 관계

  수열에서 합과 일반항과의 관계를 보도록 하겠습니다. 이는 아주 중요한 내용으로 다른 단원과 연계해서 출제가 잘 되는 부분입니다. 학교 시험에서는 낚시 문제로 잘 출제됩니다. 또한, 수능에서는 너무 잘 나오는 내용이죠.

  수열의 항까지의 합을 이라고 합시다.

    그러면 이라고 표현할 수 있습니다.

    여기서 은

   ​  이 되겠죠?

  음.. 그러면 가 되고 이 되겠죠?

    (이것을 모르겠으면 여기에. 알겠으면 넘어 가고)

  합과 일반항과의 관계는 여러분이 아래와 같이 자연스럽게 연습을 한 다음에 공식을 암기하는 것이 좋습니다.

    는 무엇입니까?

라고 했을 때

 이고 

가 되겠죠?

따라서 이 됩니다.  

  일반화 시켜 봅시다. 수열의 합 이 주어질 떄 을 구하는 방법에 대해서 살펴보도록 하겠습니다.

 

입니다. 

여기서 을 구하려면 항의 바로 전항

즉, 항까지의 합을 구하면

 

입니다. 

이 두 식을 아래 가지런히 놓아 봅시다.

그런 후

위에서 아래의 식을 빼면

이라는 식이 나옵니다.

따라서 이 됩니다.

​

그런데 조심해야 될 것은 수열에서는 정의역이 자연수이기 때문에 , 같은 것은

​

없습니다. 따라서 에서 조그만 수 은 자연수가 되어야 됩니다.

따라서 가 됩니다.

그러므로 일 때 임을 알 수 있네요.

위의 식을 통해서 우리는 의 값을 구할 수 있지요.

  의 값은요? 

위의 식에 대입하면 가 되어 는 정의가 되지 않는다고 했지요?

그렇다면 다른 방법을 생각해 봐야 되는데요.

이죠?

따라서, 우리는 모든 수열의 합의 식이 주어졌을 때 일반항을 구할 수 있습니다. 아래에 정리합니다.

 

  간단한 예를 통해서 “수열의 합과 일반항의 관계”를 이용해서 문제를 해결해 봅시다.

 일 때 , 의 값을 구하시오.

  을 구할 때는

이죠?

그러니

  가 되겠습니다.

은요?

자연스럽게 항에서 항까지를 빼면

 

에서 

를 빼면 입니다.

​ 

그러므로 

입니다. 이니까

을 대입한 것이 이죠?

따라서 

        

        

        

가 되겠습니다.

방금 문제 문답으로 이쁘게 정리합니다.  이쁘게란 말이 표준어로 검토 하고 있다고 하죠? (2015년 7월 12일)

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​ 

  이 방법으로 하나만 더 풀고 다음 내용으로 갑니다.

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​ 

  방금까지는 수열의 합이 주어지면 특정한 항의 값을 쉽게 구할 수 있었습니다. 이제는 직접 식을 구해 보도록 하겠습니다.

아아.. 조는 학생이 있네요. 나 혼자 너무 말을 많이 했나?

  아.. 근데 이 부분 아직까지는 쉬운데. 왜 이리 재미가 없죠??

  그런데 이제부터는 정말 중요합니다. 대충하면 학교시험에서 낚입니다.

    

     잘 따라 오셔야 되고 그 뒤의 내용들도 확실하게 알고 있어야 되는 내용입니다.

  가수 ‘주니엘’ 아시죠?

     주니엘이 여러분들을 위해서 가수로 데뷔하면서 부른  노래가 있답니다.

     

 

<주니엘> 일라일라 (2012.6.6.)  40초 부터
 My baby ila ila ila...
번역하면 : 나의 아그들아. 일어나 일어나 일어나

  캬~~ 감동이 오지 않습니까?? 너를 위한 노래입니다.
   일~나 일~나 일~나. 일어나라고 하죠.

    수업시간에 잠이 오더라도 꿋꿋이 일어나야 하는 것을

    ’주니엘의 정신’이라고 합니다. 

  와..ㅋㅋㅋㅋ

  ㅋㅋㅋㅋ

  주니엘의 마음은 학생들이 일어나길 바랬는데

     정작 주니엘 자신은 눈을 반쯤 감고 기타를 치니 학생들이 잘 안 일어나요.  결국 주니엘이 성나서 노랠 다시 불렀죠.

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​

​

​

​

​

 

<주니엘> 나쁜 사람 (2012.11.19.)

일어나라고 해도 안 일어나는 넌 나쁜 사람

  주니엘 정말 멋지지 않습니까? 

  ㅋㅋㅋ. 이제 집중할게요.

  "귀여운 남자(주니엘)"까지 하려다 참았습니다. 네가 조금만 더 귀여웠어도 하는건데. 어쨌든 집중 해야 됩니다.

  합과 일반항과의 관계의 식은

이라고 했죠?

​

이것을 가지고 아래의 Step에 따라서 하시면 됩니다.

 

조심해야 될 것은 무엇입니까?

​

만 독특한 것이고 특별한 것입니다. 엘라스틴 한 것이지요??

 일 때 을 구하시오.

  에서 이므로

​

 

     

 이므로

​

 에 을 대입하면

​

 에 을 대입하면

  로

 의 결과와 일치한다.

따라서

 이다.

​

​

​ 

  위의 순서대로 하면 됩니다. 그러면 문제가 다른 경우는 의 결과로 나온 식에 을 대입한 경우와  의 식의 값이 다른 경우도 있습니다. 예를 보면

   일 때 을 구하시오.

​

  에서 

​ 이므로

​

   

  이므로 

   

에서 이지만 에서 을 대입하면 결과가 일치 하지 않는다.

그러므로

​

 

이다.

 

 이처럼 첫째항과 둘째항의 이후의 식이 다른 경우도 있음을 알아야 겠습니다. 이것을 빠르게 구분하는 방법이 아래에 있는데 방금 강의를 반드시 복습하시고 하셔야 됩니다. 정말로.

  합과 일반항과의 관계는 방금

     

    라는 것을 배웠습니다.

​ 

  이제는 합의 공식을 보고 이것이 첫째항과 둘째항 이후의 식이 같은지 다른지를 조금 빠르게 판단할 수 있는 방법에 대해서 보도록 하겠습니다. 이 방법은 서술형에서는 쓸 수 없는 방법이나 낚시성 문제인지 아닌지를 미리 판단 할 수 있는 방법이 됩니다.

 이것 먼저 적용을 해 보고 왜 그런지 보도록 합시다.

     이면 입니다.

    이런 경우는 반드시

    이 이 부터 성립하는 식이 나오고

​

​

    

​

    ​ 이면 입니다.

    이 경우는 반드시

    

    처럼 첫째항과 두 번째 이후의 식이 다르게 나옵니다.

 

  그렇다면 다음 수열을 보고 이것이 첫 번째 항부터 만족하는 식이 나올지, 첫 번째 항과 두 번째 항 이후의 식이 다를지 판단할 수 있겠죠?

그러면 이 이유를 알아봅시다.

 에서 

첫 번째 과정은

 일 때는

두 번째는

 일 때는

세 번째는 어떻게 했냐면 ㉡의 결과를 일 때 맞는지 확인을 했었죠?

아이유정신으로 합시다.

아직 오지도 않은 크리스마스조차 미리 해버리겠다는 정신입니다.

미리 대입하는 거죠.

그랬을 때 가 나오는데 이 식의 결과가 가 같으면

첫 번째 항부터 만족하는 식이 나오는 것입니다. 즉 이 되면 되는 것이죠?

그런데 이면 첫째항과 둘째항 이후의 식이 다르게 된다는 것을 알 수 있겠죠?

​

​ 

  아 쌤. 이거 미리 가르쳐 주시지....

  물론 시험이 바로 앞에 있어서 어쩔 수 없는 상황이면 걍 쓰세요. 시간도 고려해야겠죠? 처음 하는 학생이라면 먼저 정확한 방법으로 한 다음에 시간 절약을 위해서 쓰면 좋겠습니다. . 

   "서술형에는 쓰지마셍~~!!"

   수열은 정의역이 자연수인 함수 이므로 원래는 수학적으로는 쓸 수 없는 것 아시겠죠?

 

<아이유> 미리 메리크리스마스   (Feat. 천둥)  (2010.12.9.)

 뭐든 “미리” 하는 아이유정신