[기본개념] 등비수열의 합

  등비수열에서는 등차수열과 마찬가지로 일반항, 중항, 합의 순서로 기억을 해야 됩니다. 기억을 하지 않고 문제만 끄적끄적 거린다고 해서 절대로 문제가 효율적으로 풀리지 않습니다.

 수학의 개념에는 모두 이름이 붙어있습니다. 이름이 없다면 단지 그 수학은 몸짓에 지나지 않았겠죠. “등비수열”, “등비중항”, “등비수열의 합” 이것처럼 이름을 붙여줌으로써 그 등비수열은 여러분들에게 다가가 꽃이 되는 것입니다.

  아~~. 이거 어디서 많이 들어 봤는데.

  김춘수의 “꽃” 몰라??

 아. 맞다. 문학도 좀 알아야 되는데.

나의 이름은 등비수열 이야! 나의 이름을 잊지 말아죠.. 공비수열이 아니라니까???

​

  그러면 이제 우리는 등비수열의 합의 공식을 유도해 봅시다.

 첫째항이 , 공비가 인 등비수열의
첫째항부터 항 까지의 합을 이라고 하죠,

 첫째항이

 둘째항이

 셋째항이

   

 이고 마지막 항은 등비수열의 일반항 이 되겠죠?

   

 그렇다면 

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  이므로

​

  이 되겠죠?

 여기서 중요합니다.

​

 양변에 을 곱합니다.

 그러면

 

  이 되네요.

 이 두 식을 정리해서 쓰면

 

 

 

이 되죠. 에서 을 빼면

 이 됩니다. 
(왜 아름답게 동류항끼리 정리했는지 아시겠죠?)

양변을 로 나누면

 

이 된다고 하면 상당히

아으~~ 동동다리가 되는 것입니다.

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상당히 안타깝죠.

  어?? 뭐가요?

 쌤 고전시가는 걍 모르면 이별의 정한이더라구요.

​ 

  다시 뭐가 잘못되었을까요??

수학을 할 때 양변을 같은 수로 나눌 때 으로 나누면 안 됩니다.

그러니 분류를 통해서 해결해야 겠죠?

 

에서 일 때 와 일 때로 분류를 해야 됩니다.

, 즉, 일 때는

㉠의 식은 이 나오네요.

즉, “나는 나의 아버지의 자손이다.” , 즉 “나는 나” 라는 의미 없는 내용이 나옵니다.

 

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<주주 클럽> 나는 나   (1996.) 

​이거 잘 모르지? 여기 가끔씩 선생님도 오시던데 그 분을 위한 노래야.

  , 즉, 일 때는 다른 곳에서 찾아야 되는데요.

처음 문제의 도입에서

  에서 

이면

가 됩니다. 는 항의 개수인 개가 되니까

 가 되겠지요.

 일 때는

그냥 을 나누어서

 

이 됩니다.

또한 이 식을 분자 분모에 을 곱하면

이렇게 표현할 수 있겠네요.

그러면 등비수열의 합의 공식을 정리하고 증명하겠습니다.

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 등비수열의 합의 증명은 아래와 같습니다.

	[증명]
	첫째항이 , 공비가 인 등비수열의  첫째항부터 제항까지의 합을 이라고 하면 은 다음과 같다.             ㉠ ㉠의 양변에 을 곱하면            ㉡ 이다. ㉠에서 ㉡를 변끼리 빼면                  )               이므로 은 다음과 같다.   일 때,                 일 때, ㉠에서

 

 

 

 

 

 

 

 

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  등비수열의 합의 공식을 적용해 보면서 암기하는 시간입니다. 기계적으로 나올 수 있도록 연습을 해야 하기에 이를 보겠습니다.

등비수열의 합의 공식은 방금 결과를 통해서

라는 것을 배웠습니다. 일 때를 제외한 형태에 대해서 보겠습니다.

​

​ 

등비수열의 합에서 먼저 공비를 구해서

​

일 때는 

 일 때는 

​

위처럼 사용하면 좋겠죠? 분자, 분모를 양수로 만들기위해서 그런 것입니다.

그러면 

의 합을 아래와 같은 순서로 기계적으로 해결할 수 있어야 하겠습니다. 물론 증명과정을 머릿속에 넣어 놓고 말이죠.

공비는 가 되겠지요

​ 

방금 구한 공비가 이므로

을 쓰면 되겠네요.

만약 공비가 였다면 을 써서

 

을 쓰면 되겠죠?

​

에서 첫째항은 이고 항수는 개입니다.

개 아닙니다. 조심!! 처음에 많이하는 실수죠.

 로 정리하면 되겠습니다.

 

방금 문제들은 아래에 정리 해 놓았습니다. 간단한 문제는 여러분들이 해결해 보시길 바랍니다.

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 등비수열의 합을 이용한 다양한 문제 풀이를 하겠습니다.

 첫째항이 1, 공비가 3인 등비수열 에 대하여 의 값은?

  등비수열의 성질입니다. 이 등비수열이면

  아래와 같이 

 

은 등비수열입니다.

도 등비수열이죠.

그렇다면  첫째항, 공비 항수를 알면 되겠네요.

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​

  첫째항은 이고 공비가 무엇이 되겠습니까?

 의 공비가 이므로

 의 공비는 두 칸 간격으로 멀어지므로 가 되겠습니다.

직접 안 써 봐도 되죠?

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​ 

  항의 개수는 어떻게 됩니까? 이건 등차수열 시간에 배운 공식이 있죠. 물론 쉽게 구할 수 있는 사람은 자신의 방법으로 구하면 됩니다.

그 공식은 이 됩니다. 모르는 사람은 아래를 클릭

등차수열의 항의 개수 쉽게 구하기

그러므로 개수는

​개가 되겠습니다.

그러면 아래와 같은 과정으로 해결할 수 있겠네요.

첫째항이 1, 공비가 9, 항수가 10 이므로

이것을 아래에 정리해 놓겠습니다.

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  이제 다른 문제를 볼까요?

등비수열 의 첫째항부터 제 10항까지의 합이 9,

제 11항부터 제 20항까지의 합이 27일 때,

제 21항부터 제 30항까지의 합은?

 위의 문제를 보면

일 때

의 값을 구하는 것입니다.

 이 문제를 풀 때 두 가지 방법이 있는데 먼저 가장 쉬운 방법으로 풀면

 , ,

은 각각 10개씩 들어가 있고 수의 규칙성이 밑에 조그만 숫자는

씩 커지는 규칙성이 있습니다.

그래서 위의 수열은 등비수열입니다.

즉, 10개를 한 덩어리로 생각하는 것이죠.

그러면 

에서 에서 로 세 배 늘어났으므로 구하고자하는 값은

을 세배 늘린 이 되겠네요.

 이를 문답으로 아래에 정리했습니다.

  다른 문제도 한번 여러분의 힘으로 풀어 보세요.  인수분해를 이용한 문제입니다.  

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  이런 내용을 바탕으로 등비수열의 기본에 대해서는 자신감 있게 해결했으면 좋겠습니다.

조금이라도 도움이 되어 “쌤의 은이 샷~다.” 란 말을 들었으면 좋겠습니다.

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여러분이 잘 해서 실력이 올라가면 쌤도 기분이 좋겠죠?

 

<2년전 인문 1반 학생> Dog mountain   (2013.3.20.)

(학생이 저 한테 준 것입니다.) 

 쌤 이것도 이별의 정한??

 나도 아직 기억 나는데. 이별의 정한 아니면 임금님 싸바싸바 몰라?

 근데 이거 제목이 뭐예요?

 “역군 은이 샷다”로 검색해봐. 나도 기억안나..

 모두 다 해결해 보셨죠? 다음 시간은 합과 일반항과의 관계로 아주 중요한 내용이 되겠습니다.