[기본개념] 등차수열의 합

  등차수열의 합에 대해서 살펴보겠습니다.

  등차수열의 단원에서는 교과서에 크게 일반항, 중항, 합 이렇게 세 가지 개념이 있습니다. 그 순서대로 머릿속에 암기를 해 놓고 그것을 사용할 수 있을 준비가 되어 있어야 하겠습니다. 수학은 용어들을 정확하게 기억하는 것에서 개념 공부는 시작 됩니다.

가우스가 우습게 푼 문제가 있었죠.

초등학교 때 선생님이 조금 쉬려고

의 값을 구하라고 했습니다..

보통의 초등학생이라면 앞에서부터 차례로 풉니다.

이 사실을 이미 학원에서 배워서 아는 척 하는 초등학생은 많지만 처음엔 대부분 이렇게 풉니다.

가우스의 풀이법은

, 

, 

, 

, 

, 

 처럼 

앞뒤의 숫자를 차례로 더해 나가면 모두 이 되고

이것이 쌍 있으므로

이라고 해결 했습니다.

  이걸 초등학생때요?

  그렇습니다. 이걸 배웠죠.

구하는 값을 라 하면

 이고 

​

덧셈은 교환법칙이 성립하므로

​

 이 됩니다.

위의 두 식을 더 하면

인데 이 쌍이므로

​

 

이 됩니다.

나 때문에 수학이 어려워 졌다고??

나 없었으면 인류의 진보가 50년은 늦어 졌을 지도 몰랐어.

​

​ 

 등차수열에서도 비슷한 방법으로 사용할 수 있습니다.

등차수열은 각 항의 간격이 같기에 부터 까지의 합을 구하는 방식과 비슷한 방법으로

공식을 유도 할 수 있습니다.

첫 번째 항을 , 공차를 , 마지막항을 이라고 하고

첫째항부터 항 까지의 합을 이라고 합시다.

그러면 이 되죠

등차수열의 일반항 이므로

, , 이니까

이 됩니다. 여기서 , 즉

가 되겠죠?

그런 다음 위의 식과 함께 합을 거꾸로 더한 식을 씁니다.

  

 

위의 두 식을 더하면

이 되는데 이 몇 개 있나요?

​

개 있겠죠?

따라서,

이 되겠네요

​

그러므로 

 

이 되겠습니다.

방금 과정을 다시 정리 해 놓겠습니다.

	[증명]
	㉠과 ㉡을 변변 더하면 양변을 2로 나누면 ∴ 이고 이므로 이다. ㉢에 대입하면    [증명 끝]

 

 

  공식 암기 해야 되나요?

  당근 말밥이죠.

당근이 6개.. 최소한 6번은 써서 암기하라는...

​

  진행 합니다.

 에서

 이므로 

이고 이것은 방금 유도 과정을 가지고 암기를 하면 됩니다.

 쌤, 공식이 많네요

  수열은 암기해야 될 공식이 많은 단원입니다.

꼭 암기를 해야 됩니다. 수열 이후 (시그마),

수열의 극한으로 연결이 되고 나중에 미분에서도 연결이 되는 가장 기본 단원이지요.

계속 쌓인다고 생각 하면 됩니다.

그러니 다른 부분도 마찬가지지만

특히 수열 부터는 교과서 기본 개념을 하지 않으면

뒷 단원의 공부가 어려워 집니다. 빡시게 외워야 됩니다.

 조금 쉽게 외우려면 이건 사실 심화내용중에서

이 사실을 이용하면 등차수열을 재미 있게 풀 수 있는 내용이긴 한데요.

등차수열의 합의 구조는

이라는 것을 가지고 로 생각 할 수도 있습니다.

​

항의 개수는 개 이고 등차수열의 평균은 첫째항과 마지막항의 평균과 같거든요.

​

이건 다음에 기회가 되면 이것으로 깊게 들어가도록 하겠습니다.

어쨌든 을 외운 다음 대신에 등차수열의 일반항을 대입하여 공식을 얻어 내면 되겠네요.

 그러면 등차수열의 합을 계산 하는 방법에 대해서 살펴 보기로 하겠습니다. 여러분들 계산은 영어로 뭡니까?

  calculate 가 계산하다니까. calculation?

 와. 역시 공부 열심히 하는 유진이 고급 단어를 알고 있네.

 아.. 지금까지 이 강의 몇 번 들었니? 8번 들었나? 그 스토리 보면 그게 답일 것 같니?

 아 맞구나. ㅋㅋㅋㅋ.

  오.. 그럼 어떤 답이???

 글쎄요. 참 어렵네요. 선생님 머리에서 어떤 생각이 나올지.

  네 머리 속도 참 알기 어려워. 너 같은 학생도 처음이거든. 답은.....

​

​

계산 = Dog mountaion

  도그 마운틴이죠.

  와..ㅋㅋㅋㅋㅋ

  이거 가르쳐준 학생이 여러분들 선배가 되겠는데요. 부산외고 졸업 후 1년 재수 하고 올해 서울대에 들어갔지요. 처음에 이 자식이 나보고 계산이 도그 마운틴이라고 하기에 뭐 이런 재미없는 개그가 있어? 라고 하다가 한번은 재수학원 수업시간에 써먹은 적이 있는데. 의외로 반응이 좋았어요. 신기하게. 그래서 이 드립을 발전 시켰는데 차차 보시게 될 것이고. 어쨌든. 계산을 잘해야 합니다. 개가 산에 가면 정말 좋아 합니다. 여러분들도 “개산의 정신 ”으로 계산 할 때는 지겨워 하지 마시고 좋아 해야 합니다. 여러분들이 개가 되어 산에 간 것이죠.

  쌤 방금 이야기는 조금.

  그래 알았어. 계산을 소홀히 하지 말라는 뜻으로 해석 해줘.

  등차수열의 합의 공식을 다시 봅시다.

여기서 합을 계산하기 위해서 두 식을 안구에 힘을 주고 살펴봅시다.

 

안구에 힘주다가 안구 건조해지면 어쩌죠? 안습하세요!!!

  자 위의 식을 다시 봅니다.

1)

2)

​

​ 

1번과 2번에서 사용된 문자를 살펴 보면

1)번은 이 사용 되었고

2)번은 가 사용 되었죠.

그러니 여러분들 두 식의 공통점은 은 무조건 알아야 되는 것이죠.

그러니 첫째항과 항의 개수는 알아야 됩니다.

그 다음은 마지막항 을 알거나 를 알기 쉬운 경우에 따라서 두 식이 분류 됨을 알 수 있네요.

공식을 무작정 대입 하기 싫은 학생은 마지막항을 구해서 1)번 방법으로 하다가

차차 2)번도 바로 사용 할 수 있도록 연습하세요.

우리는 수학을 하는 것이지만 입시도 있기에 시험은 시간이 제한 되어 있어

공식을 빠르게 사용하는 것도 필요 합니다.

​

​

방금 내용 표로 정리 하겠습니다.

먼저 첫째항과 항의 개수를 구한다.
마지막항을 알면	공차를 알면

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  이제 등차수열의 합을 계산 해 봅시다.

 예제

등차수열 의 합은?

  등차수열의 합을 구할 때는 첫째항과 항의 개수는 필요 합니다.

항의 개수를 구할 때는

로 계산 하면 되죠? 잘 모르겠다구요? 보충설명은 아래

등차수열에서 항의 개수 쉽게 구하기

따라서, 항의 개수는 공차가 이므로

 개가 됩니다.

그러면 첫째항과 항의 개수를 구했습니다. 마지막항을 아니까

 

을 쓰면 되겠죠?

답은 가 되겠네요.

 예제

등차수열 의 첫째항부터
제 항 까지의 합이 일때, 자연수 의 값을 구하시오.

 위 등차수열에서 첫째항은 알죠? 항의 개수는 문제에서 개라고 주어 졌습니다. 공차가 이므로

공식을 적용하면 되겠네요.

처음 하는 사람은

 에서 

 를 대입했다고 생각 하면서 하면 됩니다.

​

 

공식을 쓰면

​

 

​

이 됩니다. 이제는 인수분해만 하면 되겠죠?

 에서 

 

​

 

 (은 자연수)

이 되겠네요.

 그러면 이제 여러분의 힘으로 아래 문제 간단히 풀어 보세요.

풀이 과정에는 일반적인 풀이 과정으로 넣었습니다.

항의 개수를 구할 때는 아까 를 적절하게 이용하세요.

의 값은?

의 수열의 일반항을 이라 하면

첫항이 1 이고 공차가 2인 등차수열이므로

 

번째 항을 19라 하면

 

즉 10번째 항이 19이므로

과 사이에 개의 수를 넣어 만든 등차수열
     , , , … , ,
의 합이 일 때, 의 값은?

과 사이에 개의 항이 들어 있으므로

전체 항의 개수는 개다.

등차수열의 합 공식에 의해

 이므로

  등차수열의 합의 최대와 최소에 대해서 살펴봅시다. 먼저 아래의 문제를 먼저 보고 시작합니다.

​ 

예제

첫째항이 , 공차가 인 등차수열의 합의 최댓값을 구하시오.

 

 이 문제를 해결할 때 기계적으로 등차수열의 합의 공식을 먼저 적용하려고 하는 학생이 있습니다. 먼저 등차수열의 일차함수의 성질을 기억한다면 이런 문제는 쉽게 해결 될 수 있는 것이죠. 등차수열은 계속 커지거나 작아지는 수열이라고 생각하면 편하겠네요.

예를 들어 봅시다.

 

위와 같은 수열에서 몇 번째 항까지의 합이 최대 입니까?

  번째 항까지예요.

​

 예 맞습니다.

항 까지의 합을 이라 하면

이 되죠?

항 부터는 음수가 되어 더해지면 합이 작아 집니다.

따라서 항 까지의 합이 최대가 되겠네요.

그럼 정리합시다.

등차수열의 합의 최대와 최소

1) 첫째항이 양수이고
합이 최대가 될 때는 을 만족하는 최대의 을 잡아서 을 구한다.

2) 첫째항이 음수이고

합이 최소가 될 때는 을 만족하는 최대의 을 잡아서 을 구한다.

위와 같이 정리 되겠습니다.

등차수열이 합이 최대가 되려면 양수까지 더해야 겠죠?

그러므로 을 유지 하도록 하는 의 값을 구하는데 양수들은 최대한 많이 더해야 값이 커질 것입니다.

그런 다음 을 구하면 되겠죠. 나머진 계산의 문제입니다.

 계산이 영어로 뭐였죠?

  Dog mountain 요!!

  드립은 신기하게 복습을 안 해도 잘 되죠?

위의 드립 잘 기억 하셨죠?

이 개 종류는 Dog mountaion 이 아닌 Bernese Mountain dog

  첫째항이 , 공차가 인 등차수열은 첫째항부터 몇 째 항까지의 합이 최소가 되는가?

좋지 않은 풀이	좋은 풀이
따라서, 일 때, 즉 셋째항까지의 합이 최소가 된다.	수열 을 나열하면 이 때 일 때는 이다. 따라서 일 때 최소가 된다. 즉, 셋째항까지의 합이 최소가 된다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 문제가 아주 복잡해지지 않는 이상 일반항을 기준으로 해서 합을 구하는 것이 좋습니다.

​

​ 

등차수열 에서 몇 번째 항까지의 합이 최대가 되는가?

등차수열

의 일반항은

   이다. 

합이 최대가 되기 위해서는 일 때 까지 이므로

따라서 번째 항까지의 합이 최대 이다.

  그럼 다음 강의는 등비수열이 되겠습니다.