[기본개념] 기본 점화식 (등차수열, 등비수열의 점화식)

점화식 강의

점화식과 관련된 강의는 아래와 같습니다.

1. 등차수열과 등비수열의 점화식 ( 이 강의 )
2. 조화수열과 조화수열의 점화식
3. 계차수열
4. 점화식 I   
5. 점화식 II    
6. 점화식 III  
7. [참고] 점화식 IV 

 

포스트 내용

이 포스트에는 등차수열과 등비수열의 점화식에 대해서만 언급이 되어 있습니다.

 

시작

 수열에서 우리는 일반항이라는 것을 배운 적이 있습니다. 일반항이란

 

으로 단호박으로 정해 놓은 것을 말합니다.

문자로 말한다면 단문이죠.

여 : 오늘 뭐 했어? 나는 어쩌구 ~~~..(5분 동안 말함) 그렇게 지냈어. 넌 잘 지냈어?

남 : ㅇㅇ

이겁니다. 단호박으로 정해 놓은 것이죠.

 그런데 점화식은 아래와 같이 정리 됩니다.

   

이렇게 넌지시 돌려 말하는 겁니다.

 의 의미는

을 대입하면

를 대입하면

을 대입하면

이처럼 전 항 과 다음 항 이 있는데

다음 항이 전항 보다 크다는 표현입니다.

이처럼 이웃하는 두 항 사이의 관계를 나타낸 식을 점화식이라고 하고 이렇게 점화식으로 표현 하는 것을 수열의 귀납적 정의라고 말합니다.

 선생님, 그런데 남, 녀로 구분 시켜 놓은 것은 좀 그래요. 저는 대화를 짧게 하는 것을 좋아 하거든요.

 나는 말을 많이 하고 수다 떠는 것 좋아 하는데. 남자 친구가 ㅇㅇ 라고 문자 보낼 땐 정말 짜증나던데.

 논란이 많네요. 대체로 그렇다는 것이지 남/녀로 완전히 구분 한 것은 아닙니다. 예를 들자면 그런 것이죠. 여성적인 성향을 가진 남자도 있고 남성적인 성향을 가진 여자도 있겠지요? 나는 조금 여성적인가? 

 ㅋㅋㅋ

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 등차수열과 등비수열을 나타내는 점화식에 대해서 살펴보겠습니다.

먼저 결과를 정리 하고 살펴 보겠습니다.

 각 수열을 나타내는 점화식은 각 수열의 정의와 중항에 따라 결정 됩니다. 등차수열의 정의는 일정한 수를 더해서 얻은 수열입니다. 그러니 자연스럽게 다음 항() 은 전항() 에 비해서 공차인 만큼 커질 것입니다.

따라서

가 되겠죠?

등차중항 배운 것 기억나시죠?

중간의 두 배는 양 옆의 합이 됩니다.

그렇다면 

​

라는 수열이 있으면

중간의 2배 즉, 이

양 옆 의 합이 되므로

가 되겠네요.

  등비수열의 경우도 마찬가지입니다.

정의에 따라

 

가 되겠죠?

이를 표로 정리 하면 아래와 같습니다.

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 문제를 풀어 보렴

  ,   으로 정의 되는 수열 에 대하여 의 값은?

① 54     ② 56     ③ 57     ④ 58     ⑤ 59

​

 로 정의 되는 수열 은 등차수열이므로 공차 는

 

 

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​ 

   , , 으로 정의되는 수열 에 대하여 의 값을 구하시오.

 , 즉 로 정의 되는 수열 은 등차수열이므로 공차 는

 

 

 이고, 

 로 정의되는 수열

 에 대하여 의 값은?

① 192   ② 248   ③ 292   ④ 384    ⑤ 392

를 만족하는 수열은 등비수열이므로 첫째항을 공비를 이라 하면,

㉡㉠을 하면

 ,

를 ㉠에 대입하면

   

 , 를 만족하는 수열 에 대하여 이다. 이 때 의 값은?

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