자연수의 거듭제곱의 합의 공식(시그마의 공식)의 유도 과정과 꼭 암기해야 될 공식이 있습니다. 그리고 여러 가지 시그마의 표현으로 합을 얻어 내는 방법에 대한 강의 내용입니다.
자연수의 거듭제곱의 합(시그마의 공식) 에 대해서 살펴보도록 하겠습니다. 공식부터 정리 합시다.
위의 공식을 외워야 하고 어떤 식으로 유도 되었는지가 상당히 중요합니다.
1)번을 증명하겠습니다.
을 의미 합니다.
이 합을 구하기 위해서는 등차수열의 합의 공식을 이용하여 해결 할 수 있겠죠?
이므로
이 되어서
라고 할 수 있겠네요.
2) 번을 증명하는 과정은 축차대입법이라고 합니다. 축차대입법이란 주어진 식에 대하여 
을 대입하여 변변 더하거나 곱하여 식을 정리하는 방법을 말하며 수열에서 아주 큰 비중을 차지하는 증명법이며, 수능 시험에 자주 출제 된 바 있습니다. 개편되는 수능을 치르는 내년 (올해는 2015년) 수능부터는 문과 학생에게는 더 중요한 내용이 되겠네요.
을 만족하죠?
을 좌변으로 이항하면
이 되죠?
여기에 
을 대입하여 변변 더하면 됩니다.
증명 과정을 아래에 남겨 놓겠습니다.
이를 통하여 여러분들이 알 수 있는 것은.
쌤 3번은 증명 안 해줘요?
오 역시 유진이. 방법이 비슷해서 넘어 가려고 했는데
에서
을 이항하면
이 됩니다
방금과 비슷하게 
을 대입한 다음 변변 더해서 식을 정리 하면 됩니다. 그런데 식을 모두 다 정리 할 필요 까지는 없을 것 같고 축차대입법을 통해서 나온 것이라고 생각을 하시면 되겠어요.
그래서 이를 통해서 알 수 있는 것은 
기호에서 뒤의 식이 
에 대한 
차 이하의 다항식이면 우리는 
의 값을 공식을 통해서 얻어 낼 수 있다는 것을 알 수 있습니다.
다시 써 볼 까요?
지금은 아래에 써 있는 공식을 활용하여 문제를 해결 하는데 암기 하셔야 됩니다.
1) 
2) 
3) 
그러면 문제 하나씩 풀어 보도록 하겠습니다. 이것은 개산의 정신
을 이용하면 되죠?
의 값을 구하시오.
의 값은?
계산에서 무슨 일이 있어도 꼭 암기해야 되는 공식에 대해서 살펴보겠습니다. 시중 교재나 참고서에 여러 가지 공식들이 있습니다. 그 중에서 반드시 기억해야 되는 공식입니다. 우리는 시험을 대비 하는 입장에 있기 때문에 시간절약을 위해서 그렇습니다. 정리 하고 하나씩 보도록 하겠습니다.
홀수의 합에 대한 공식입니다.
(홀수의 합)
이를 수학적으로 증명하겠습니다.
아래에 결과를 정리 합니다.
이제는 두 번째로 꼭 암기해야 되는 공식을 보도록 하겠습니다. 먼저 정리하고 증명합니다. 증명하는 과정에서 여러분들은 방금 배웠던 자연수의 거듭제곱의 합의 공식을 활용 할 수 있을 것입니다.
증명을 해 봅시다.
위의 두 공식은 확실히 기억하시고 연산군의 정신
이 많이 필요한 부분이라고 할 수 있겠습니다.
아아. 수업만 너무 열심히 했나?
슬슬 졸리죠? 이럴 때는 주니엘의 정신
이 필요한 시점입니다.
찰스야 일어나. 2PM의 호통
이 있을 수 있어.
이제 일어나야 되는 시점이야.
아.
쌤 이번 강의에는 정신들이 참 많이 나오네요.
이번 강의의 컨셉은 정신들 복습하는 시간이야.
예전에 우리는 합을 시그마의 기호로 나타내는 방법에 대해서 학습한 적이 있습니다. 문제를 보고 해결해 봅시다. 이것도 마찬가지 카라의 정신
이 필요 하죠?
아니요. “제:아의 정신
”요
그거나, 그거나, 도찐개찐.
그러면 문제를 보면서 해 봅시다.
수열 
의 첫째항부터
제 
항까지의 합을 
이라 할 때, 
의 값을 구하시오.
위의 문제를 보면
으로 이루어진 합을 구하되 10개의 항만 더하라는 것을 알 수 있습니다.
수의 규칙성을 파악해야 될 텐데요. 수의 규칙성을 가지고 일반항을 만들면 되겠네요.
각 곱해 지는 수의 앞 부분은
인 것을 파악 하셨죠?
이는 등차수열로 일반항을 구할 수 있을 것입니다.
이 되겠네요.
그렇다면 다음에 있는 수
은
이 됩니다.
이제 정해진 순서에 맞게 한번 풀어 봅시다.
일반항 
는
에서
앞에 숫자들은 
로 
이고 뒤에 숫자들 
은 
이죠?
곱의 형태로 주어져 있으므로
라고 할 수 있겠네요
항의 개수는 문제에서 10개라고 했습니다.
그러면 
의 형태를 만듭시다.
STEP 2에서 항의 개수가 
개 이므로 
일 것이고, STEP 1에서 
이니까
가 되겠습니다.
그런 다음 계산을 하면 되겠네요.
자연수의 거듭제곱의 합을 배우면서 우리는 
가 
에 대한 삼차 이하의 식이면 전개를 통해서 계산 할 수 있다는 것 배웠죠? 전개 하고 시그마의 기본성질 에 따라 문제를 해결 합니다.
입니다. 공식 기억 나시죠?
1) 
2) 
였죠?
은 위의 식에다 
을 대입하면 됩니다.
이렇게 계산 하면 되겠습니다.
그럼 문제 하나 풀어 보세요.
다음 수열의 합을 구하시오.
이므로
이제 
기호에서 조금 복잡한 식의 연산을 해 보도록 하겠습니다. 제목에는 
가 포함 된다고 했는데. 이는 사실 인터넷 검색에서 학생들이 이미지 검색을 하고 들어오는 경우가 있어서 이렇게 했습니다.
기본 원리는 이렇습니다.
라는 식이 있다고 할 때 
기호의 정의에 따라 
가 변하면서 더하는 값이 됩니다. 그래서 
뒤에 있는 식, 즉 
에서 
은 상수로 취급하여 앞으로 빼 낼 수 있다는 점입니다.
그것만 주의 하면 별 어려움이 없는 것이죠
이므로
가 되겠네요.
을 
에 대한 식으로 나타내면?
위의 문제를 어떻게 해결 하면 되겠습니까?
뒤에 있는 식을 전개 한 다음
시그마의 기본성질을 이용하면
로 고치면 됩니다. 아시겠죠?
풀이처럼 하셔도 되겠네요.
지금 까지 
에서 자연수의 거듭제곱의 합과 그와 관련된 문제 몇 개를 해결해 보았습니다. 필요한 것은 우선 공식을 암기해야 되고 공식이 어떻게 나왔는지가 상당히 중요하죠. 특히 축차대입법을 통해서 나왔다는 사실은 알고 있어야 합니다.
