[기본개념] 등차수열의 일반항, 등차중항

  규칙성이 있는 수열,  등차수열에 대해서 학습해 봅시다.

   

세 수열의 공통점은 무엇입니까?

  맨 위는 씩 더해지고 중간은 이 작아지고 있고 맨 마지막은 그대로 인데요.

 

 수열 , , 은 같은 숫자가 더해진다고 말하면 간단하겠죠.

  어랏! 그럼 맨 마지막에 것은요?

 

  이 더해지는 것입니다.

   이처럼 그 더해지는 수를 공차라고 하고

   이처럼 첫째항부터 차례로 일정한 수가 더하여 얻어지는 수열을 등차수열이라고 합니다. 박지성이 등차수열을 아주 좋아라 했죠. 축구하면서 매일 듣는 말이거든요.

“공~차~~!!”

   

공을 찰 준비는 되었는데 카메라 나 잘 찍고 있지?

 에이 쌤.... 젭 알...

  아니야. 여기 인터넷이라서 그런데 은근히 이거 많이 웃어. 공을 크게 차는 포즈 하면서 “공차” 라고 하면 많이 웃는다니까.

  쌤 이거 은근히 웃긴데요.

  말장난 하는 건 은근히 여학생들이 많이 좋아해. 

  남, 녀를 확 구분해서 말하긴 뭐 하지만 수업을 하다보면  “대체로” 남학생은 빠른 몸놀림에 반응을 하고 여학생들은 사소한 움직임까지 다 간파합니다. 하루는 판서를 하는데 여학생들이 계속 웃길래 이런 적이 있었죠.

부쌤 :  뭐가 웃기니? 혹시 대문 열린 거 아니지? 한번 그런 적이 있어서.

학생 :  하하하.

부쌤 :  정말 궁금해서 그래.

학생 :   선생님 판서 할 때 엉덩이가 떨려요.

부쌤 :  엉덩이 떨리는 것까지 다 보는 여학생들이 많죠. 이것 참..  어.상. 이죠.

   어.상. 이 뭐냐구요?

   어이 상실!!

 

어이 상실

  자. 별 소리 많이 했는데 이제 차분히 정리해 봅시다.

  

  잘 정리 되었지요.

등차라는 말은 한자로 된 것을 번역(?)하면

차가 일정하다는 말입니다.

그렇다고 등차수열을 차가 일정한 수열이라고 하는 경우가 있는데 이것은 정말 잘못된 정의입니다.

이 수열은 두 항과의 차가 일정한 수열이죠. 등차수열이 아닙니다.

이건 EXID 수열입니다. 위 ,아래, 위, 아래, ...

  쌤 그건, EXID 수열 아니에요.

진정한  EXID 수열은

이에요

위, 아래, 위, 위, 아래

  천잰데? 다음 강의로 넘어 갑니다.

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<EXID> 위, 아래 (2014.8.26.)

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  아래의 수열을 봅시다.

   

이 수열은 방금 강의에서 등차수열이라고 했습니다.

이 수열을 각각 씩 더하면

        

이 되네요.

구구단입니다. 이일은 이 , 이이는 사....

그러면 이 수열은 꼴이죠??

그렇다면 수열 은 방금 본 수열보다 각각 씩 작으므로

로 표현할 수 있겠죠?

이것이 수열의 일반항이라고 했습니다. 규칙성을 바탕으로 하여 수열의 특징을 식으로 표현한 것을 말하죠. 언제나 규칙성을 염두에 두고 접근을 하세요.

그러면 일반적인 등차수열에서는 일반항을 어떻게 구할까요?

첫째항을 라고 하고

공차를 라고 하면 공차가 무엇인지는 아시죠? 모르면 앞 강의 클릭

그러면 그 수열을 식으로 표현하면 이렇게 되겠죠?

이는

가 되겠네요.

규칙성이 있나요?

뭔가 비슷한 듯, 비슷한 게 아닌 ,비슷한 것 같은 썸 타는 규칙이 있나요?

  조그만 숫자가 의 계수보다 1 커요.

  맞죠. 이렇게 되겠네요.

등차수열을 공부할 때 이 수열은 조금 쉽게 느껴진다고 생각할 수도 있는데 이 부분을 공부할 때는 단순한 공식을 암기하는 것이 아니라 언제나 수열은 “규칙성”에 바탕을 두고 있다는 전제 하에 학습을 하셔야 합니다. 당연해도 방금 과정이 되어 있어야 하는 것이거든요.

 

 

 

 

<소유, 정기고> 썸 feat. 긱스 릴보이 (2014.2.6.)

처음 이 노래 나왔을 때 정기고 가 정기고등학교로 보였다는.. (직업병)

  

 또한 “규칙성”은 감각입니다. 조금 복잡한 수열도 숫자의 규칙성을 파악할 수 있어야 되는 거죠.

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 이것은 후각과 비슷합니다. 수를 보고 스멜~~을 통해서 발견할 수 있어야 됩니다. 

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꽃향기에는 규칙성이 있을까???? 스멜~~~...

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​ 

  쌤, 스멜은 안 좋은 것이나 더러운 것에 쓰는 것인데요.

  꼭 따지는 학생이 있어요. 수학은 확실히 따지고 나머진 대충 하세요. 그러면 방금 결과를 정리 해 볼까요.

  쌤, 이 공식 암기해야 되는 건가요? 방금처럼 하면 안되요?

  수열은 증명하는 과정 바탕 하에 암기를 해야 됩니다. 뒤에 내오는 내용들이 계속 쌓이거든요. 처음에는 방금 내용처럼 하나씩 하나씩 나열 해보는 것도 좋습니다.

그러면 문제를 하나 풀어 보죠.

예제

다음 등차수열의 일반항을 구하시오.

 

 

 이 수열은 등차수열입니다. 계속 씩 더해짐을 알 수 있지요.

 그러니 공차는 가 됩니다.

 공차는 보통 로 나타내죠?

 

 겠네요.

 첫째항은 입니다.

 이는 로 나타내죠

 일반항 공식 기억 했습니까?

 

 

 이니까 여기에 대입하면 되겠죠

  

    

 가 되겠습니다.

아래 문제를 풀어 보세요.

다음 등차수열의 의 일반항을 구하시오.

1) 첫째항 , 공차  

2)  

1) 이므로  

2) 이므로  

 

 

 쌤, 이거 쉽게 할 수 있는 것 같은데요.

    

     씩 늘어나니까..

     

    가 나오도록 끼워 맞추면..

  너 갑자기 왜 그래? 수업과 관련된 이야기도 하고 신기한데.

     방금 학생이 말한 내용을 가지고 등차수열의 일반항을 조금 발전 시켜 봅시다.

 

   

가 됩니다. 이는 등차수열은 에 대한 일차식이며 일차항의 계수가 공차라는 것입니다. 이는 나중에 등차수열을 심화 할 때 아주 중요한 내용입니다. 일차함수와 연결이 된다는 내용인데. 다음에 기회가 되면 하기로 합시다.

이를 통해서 수열 이 아래와 같을 때

  

일반항을 구합시다.

공차가 이므로

 꼴입니다. 

이므로

따라서 이 되네요

따라서

입니다. 

이 방법은 숙달 시켜서 조금 빠르게 풀 수 있도록 연습합시다.

무엇 보다 더 중요한 것은 등차수열의 일반항 공식을 암기 하는 것이고 더 중요한 것은 규칙성에 바탕을 둔다는 것입니다.

그것이 된 다음에는 등차수열의 일반항의 특징을 본격적으로 이용할 수 있어야 겠지요.  

그럼 다음 강의는 등차수열의 일반항을 적용하는 내용 보고 다음 개념 등차중항을 보도록 하겠습니다.

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​

 

  등차수열의 일반항을 구하는 연습을 해 봅시다. 이번 시간에는 두 개의 항이 주어진 등차수열의 일반항을 구하는 강의입니다. 먼저 등차수열의 일반항의 공식은

 이었죠. 이 식에서 변수는 입니다.

 여기서 첫째항과 공차를 구하기만 하면 우리는

을 하나의 식으로 표현을 할 수 있었죠.

그렇다면 문자 를 구하기 위해서는 조건이 몇 개 필요 하겠습니까?

  2개요.

  딩..동..댕

조건은 두 개만 주어지면 되죠.

그러면 문제를 투척 합니다.

제항이 , 제항이 인 등차수열의 일반항 을 구하시오.

이 문제는 등차수열의 일반항을 구하라고 했습니다.

첫 번째 항과 공차를 모르니까 문자로 두어 등차수열의 일반항의 공식을 이용합니다.

    에서

모르는 문자가 두 문자 두 식을 얻어 냅니다.

 이므로

 이므로

에서 을 빼면

이를 에 대입하면

이를 에 대입하면

 

  

  그럼 문제를 해결해 봅시다.

 첫째항이 2, 제 12항이 -31인 등차수열에서 의 공차는?

공차를 라 하면

 

답 : -3

등차수열 에 대하여 가 성립할 때, 는? (단, 이다.)

등차수열 의 공차를 라 하면

에서

    

답: 1:3

 제5항이 -40, 제17항이 8이 되는 등차수열에서 112는 몇 째 항인가?

첫째항을 , 공차를 라 하면

                ㉠

          ㉡

㉡-㉠에서   

㉠에서

따라서 에서

   

즉, 제43항이 112이다.

                        

답: 43항

  문제 재미있었나요?

 꿀잼이네요...

 노잼이네요.

​  핵노노노잼 까지는 아니지?

 예..

  그러면 정말 재미있는 다음 강의를 보도록 합시다.

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​

핵노노노잼 (미안 합니다. 여러분들.. 이거 무리수 였나요?? 아니죠. 실수입니다.^^;)

 

 

<에이핑크> NoNoNo (2013.7.10.)

  등차수열의 일반항에 이어서 등차중항을 학습하도록 합니다.

  세 수가 등차수열을 이룰 때 중앙에 있는 값을 양 옆의 값들의 등차중항이라고 합니다. 이 때 중간의 2배가 양 옆의 합이 되는 데 먼저 이를 증명 합시다.

	[증명]
	의 공차를 라 놓으면      에서 ㉠-㉡을 하면    이므로    를 얻는다. [증명 끝]

 

 

 

  아마 이 증명은 고등학교에서 나오는 모든 증명 과정 중에 가장 쉬운 것이 될 것입니다. 중간의 2배가 양 끝의 합이다.를 언제든지 생각 하면 되겠네요.

그렇다면 

 이 등차수열을 이룬다.

네모에 들어갈 수는?

  쌤.. 저희는 바보가 아닙니다. 요.

  그래 미안해. 암쏘 쏘리, 벗 아이 “돈” 러브 유.  뭐지??

   양 끝에 있는 수 와 을 더한 다음 로 나누었지?

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<빅뱅> 거짓말  (2008.10.2.)

암쏘 쏘리 벗 아이 돈 러브 유 

   

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  두 말하면 잔소리죠.

  그래 난 너가 아이유가 되길 원하지 않는다. 아... 이거 뭐지??

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<아이유> 잔소리 (with 2AM 슬옹) ( 2011.11.26.)

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  그리고, 이 개념을 숫자 하나로 표현한다면 190000 이죠..

    정말 쉽구만???

정말 쉽구만

 ㅋㅋㅋ..

​

  즉, 여러분 들이 보면 알겠지만 중간에 있는 등차중항은 양 끝의 평균이라는 뜻이 포함되어 있습니다. 산술평균이라고 할 수 있죠.

 등차수열은 각 항을 수직선 위에 나타내었을 때 같은 간격이 됩니다.

 을 수직선 위에 점으로 표시 하면

 두 숫자의 사이의 간격은 로 일정하겠지요.

 그러므로 과 의 등차중항은 무엇입니까? 하면 이 되는데

 이 의 의미는 을 나타내는 점과 를 나타내는 점의 중점이 되는 것입니다.

 즉, 등차중항은 두 점의 평균이라는 의미도 포함 되어 있습니다.

 그러면 이 내용을 정리 해 보겠습니다.

 그렇다면 네 숫자가 등차수열을 이룰 때는 어떤 조건을 만족할까요?

네 숫자 가 등차수열을 이루면 아래 그림을 생각합시다.

의 평균, 즉 중점은 이고

의 평균, 즉 중점은 이겠죠.

(물론 중점이 이란 말은 수학적으로는 쓰면 안되는 말이지만 이해를 위해서 그렇게 한 것입니다. 원래 점은 대문자로 표현하죠.)

그러므로 를 만족하는 것이므로

가 되는 것입니다.

이것을 수학적으로 증명 해 볼까요?

	[증명]
	수열 의 공차를 라 놓으면        에서 을 에 대입하면   이므로  를 얻는다. [증명 끝]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 자 그러면 이와 관련된 문제 풀어 보도록 하겠습니다.

 

세 수 이 등차수열을 이루고 , 세 수 와 도 각각 이 순서로 등차수열을 이룰 때 , 의 값을 구하시오.

 이 등차수열을 이루므로

   

세 수  가

이 순서로 등차수열을 이루므로

에서  

세수 가 등차수열을 이루므로

 에서 

답: , ,

 5개의 수 이 이 순서로 등차수열을 이룰 때, 의 값은?

이 이 순서로 등차수열을 이루므로

는 와 의 등차중항이다.

 

이 이 순서로 등차수열을 이루므로

는 와 10의 등차중항이다.

즉,

이 이 순서로 등차수열을 이루므로

는 10과 16의 등차중항이다.

즉,

  등차수열을 이루는 세 수 에 대해서 살펴보도록 하겠습니다. 여러분들은 중학교 1학년 때 이미 이런 문제를 본 적이 있습니다.

연속하는 세 자연수의 합이 일 때 가장 작은 자연수의 값을 구하시오.

그 당시 학생들은 어떻게 문제를 풀까요? 참고로 그 당시에 처음으로 일차방정식을 배웁니다. 괄호 앞에 가 있으면 괄호 속의 부호가 바뀌는 것을 어려워하는 학생들이 많을 때지요.

중간의 수를 로 놓습니다. 즉, 중간의 수를 로 두고 작은 수를 , 큰 수를 로 둡니다.  그러면 대칭형이 되어서 세 수를 더하면 간단한 식이 되기 때문이죠.

  세 수가 등차수열을 이룬다고 하더라도 마찬 가지입니다.

대칭형이 되도록 세 수를 잡는 것이 포인트입니다. 즉 아래와 같이 두죠

대부분의 경우 이렇게 두는 것이 편합니다. 로 두면 문자의 수가 많아 져서 복잡합니다. 문자의 수를 최소화 시키면서 대칭형으로 두면 깔끔하겠죠. 특히 이 식들을 더하거나 제곱하거나 할 때 좋습니다.

그렇다면 다섯 수가 등차수열을 이룰 때는 어떻게 두면 좋겠습니까?

로 두면 되겠네요..

그렇다면 궁금한 것이 생기겠죠???

 네 개..

  그렇습니다. 네 숫자가 등차수열을 이룬다고 할 때는 어떻게 둘까요?

  음.. ...

  그렇게 두어도 좋지만 대칭형은 아니죠. 조금 더 상큼한 방법이 없을 까요?

발상의 전환이 필요합니다. 꼭 공차가 라고 할 필요는 없는 것이죠. 그래서 아래와 같이 두면 좋지 않겠습니까?

위와 같이 두면 상당히 아름답게 대칭을 유지 하면서 문자의 수를 2개로 최소화 시켰습니다.

  이를 이용하여 삼차방정식의 근과 계수의 관계를 적용해서 문제를 해결 하려고 합니다.

  자 그럼 간단한 기본 예제를 보고 여러분들이 적용을 해 봅시다.

 예제

 삼차방정식 의

세 실근이 등차수열을 이룰 때, 의 값을 구하시오.

  삼차방정식의 세 실근이 등차수열을 이룹니다. 그래서 우리는 세 실근을 로 잡을 까요?

 아니요.

  그렇습니다. 방금 설명 드린 것처럼 문자의 수를 최소화 해야죠.

그래서 세 실근을 로 잡읍시다.

이제 삼차방정식을 안구에 힘을 주고 살펴봅시다.

여기서 의 계수는 세근의 합과 연관이 되어 있음을 알 수 있죠.

세 근의 합은

이고 이를 근과 계수의 관계를 적용하면 기억나시죠?

따라서 이네요.

그러므로 에서

이 됩니다.

이 되겠네요.

그 다음은?

  , 의 식을 다 구하면..

  어!! 그렇게 안 해도 되요. 그 이유는 나중에 설명할께요.

 음.

  잘 모르겠나요..

  그럼 힌트를 드리죠. 지금 까지 우리는 어디 까지 나왔냐면

  

  에서 실근을 로 두었는데

   이 나왔어요.

  아.. 대입하면 되네요.

  맞습니다. 은 삼차방정식 의 실근입니다.

따라서 을 대입하면

 입니다. 

그러므로 가 되겠네요. 이것이 답입니다.

 를 다 구할 수 없나요?

  다 구하긴 힘들겠지요.

  삼차방정식의 근과 계수의 관계를 쓰면 공식이 몇 개 나오냐면 3개가 나옵니다.

   

  

  

  그런데 문자는 몇 개 입니까?  이렇게 네 개가 됩니다. 그러므로 특별한 상황이 아니면 의 값을 구하기는 힘들겠지요.

그래서 식의 특징을 이용하여 근을 대입 했습니다.

그러니 결국 핵심은 를 구할 수 있으면 구한 다음에 대입 할 수 있다는 것이지요.

그러면 아래 문제를 풀어 봅시다. 결국은 식에 대한 감각을 키우는 것 밖에 없지요. 이 부분은 문제를 풀면서 연산력을 키워야 합니다. 등차수열을 이루는 세수는 대칭형으로 두어라는 것이 포인트 였습니다.

아. 조선시대 우리나라 임금 중에서 참 수학을 잘했던 임금이 있었는데 누군지 아세요?

  음.. 세종대왕이 공부 벌레였다던데...

  넌센스 퀴즈입니다. 두두두두두둥....

..

..

..

..

..

..

..

5.....

4...

3..

2.

1.

땡

  답은 연산군입니다. 연산을 참 잘했다죠.

  ㅋㅋㅋ. 

조선시대 수학을 잘 했다던 연산군. (1476-1506)

  쌤 진짜 연산군 수학 잘했어요?

  아~~. 이 험난한 세상 어떻게 살아가려고. 모두 다 믿으면 안 돼.~~ 아 내가 부끄럽다.  부끄러우니 화제 전환으로 문제 풉시다. “연산군의 정신”으로 아래 수학 문제 연산 잘하면 됩니다.

방정식 의 세 근이 등차수열을 이룰 때, 상수 의 값은?

삼차방정식의 세 근이 등차수열을 이루므로 세 근을 , 라 하면 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

 에서

는 삼차방정식의 근이므로 을 주어진 방정식에 대입하면

 

 등차수열을 이루는 세 수에 대하여 세 수의 합이 이고, 제곱의 합은 일 때, 세 수의 곱은?

세 수를 라 하면

     

∴

   

∴

따라서, 세 수의 곱은