[기본개념] 수열

 

  수열이란 글자 그대로 숫자의 배열을 의미합니다.

초등학교 5학년때 처음으로 나오는 수의 규칙성을 가지고

우리는 재미있게(?) 규칙성을 다루었죠.

, , , , , , ,

초등학교 교과서에는 네모 안에 알맞은 숫자는 무엇입니까?

라고 아주 친절하게 학생들이 숫자에 재미를 느끼도록 유도 하면서

풀라고 합니다.

위의 숫자 배열은 제곱수의 배열로 네모 안이 어떤 숫자인지는 알 수 있을 것입니다.

그러면서 중학교 수학교재는 감히 종이 따위가

“풀어라.” 라고 반말을 하기 시작합니다.

고등학교 때는 아예 적응되어 버리죠.

    쌤 그래도 가끔씩 종이한테 화풀이해요.

    어.. 어떻게?

     이제는 문제 보고 어려우면 졸린데 그렇게 눕다 보면 종이가 눈물을 흘려요

     에이 더러워.

     아밀레이스가 뭐 더러워..

     뭐지?? 수열의 뜻을 정리 해 봅시다.

수열은 위의 두 가지로 요약됩니다. 엄밀하게는 규칙성이 없이 아무렇게나 배열되어 있어도 수열입니다. 그러나, 교과서에는 “규칙성이 있는 것만을 다룬다.”라고 했습니다.

그래서 수열을 방금 내용처럼 정리한 것입니다.

교과 과정이 바뀔 때마다 수열 부분은 많은 손질이 되어 왔습니다. 예전 과정으로 갈수록 공식 위주로 식을 정리하는 내용이 주가 되었고 최근에 들어서는 “규칙성”이라는 내용이 더 강화되었습니다.

본격적으로 수열을 봅시다.

아래와 같이 끝이 없는 숫자 배열이 있습니다.

이런 숫자 배열을 수열이라고 합니다.

이제 수열의 용어를 배웁시다.

과 같이 이 수열을 이루는 각 수들을 “항”이라고 하고

를 첫째항, 를 둘째항이라고 합니다.

당연히 은 셋째항이겠죠.

함수 를 생각 해 봅시다.

이는 을 대입하면 가 되고

를 대입하면 가 됩니다.

즉 에 자연수를 대입해 나가면서 생각하면 위의 숫자 배열을 정확하게 표현할 수 있습니다.

수열에서는 정의역이 자연수라는 것이 암묵적으로 포함되어 있는
새로운 형태로 항의 규칙성을 식으로 표현합니다.

과 같은 역할을 하는 것이죠.

여기서 이 의미 하는 것은 수열의 번째 항이 되는 것입니다.

방금 함수에서와 마찬가지 방법으로 을 대입하면 즉 은

가 되고

가 됩니다.

그리고 수열

를 표현할 때 집합 기호를 써서

 으로 표현하고

 

이라고 해 버리면

와 같이 표현을 할 필요가 없어집니다.

위와 같이 간결한 표현은 수학이 엄밀한 것을 좋아하기 때문이기도 합니다.

수열은 꼭 숫자의 개수가 무한개일 필요는 없습니다.

이렇게 유한개의 수열도 가능합니다.

그러면 여기서 네모에 들어갈 숫자는?

이라고 했을 때

보통의 지구인들은.. 라고 자신있게 대답합니다.

     에이 당연히 죠.

     초딩도 라고 해요

     그렇죠. 우리는 “보통의” 지구인이기 때문입니다.

이건 햇볕이 쨍쨍 내려쬐는 더운 날씨에 힘든 달팽이에게 물어도 12..

그런데 어떤 안드로 인이 라고 합니다.

 

안드로 인들은 다들 맞다고 합니다.

 어 뭐지???

 어 뭥미?

무슨 소리야? 대체

안드로 인들은

로 생각 했던 것입니다.

를 대입하면 확실히

이 되지만

을 대입하면

가 되어 버리네요.

그러면 이것도 맞는 규칙이지요.

  에이 에바다.

  헐~~~~~~ 말도 안 된다.

뭐..임..... 지구에 왔으면 지구의 수학을 해야지.

 그런데 수열에서 항의 규칙을 나타내는 식을 결정해 놓아 버리면

즉 위의 예처럼 으로 놓아 버리면

라는 것은 말이 안 되겠지요.

확실하게 결정되지 않습니까?

 이처럼 항의 규칙성을 파악하여 식으로 정리한 것을 일반항이라고 합니다.

그러면 정리해봅시다.

그러면 쉬운 문제 하나 풀고 진행합시다.

 일반항 이 다음과 같은 수열에서 첫째항부터 제 4항까지 차례로 구하시오.

1)       

2)

 교육과정상 안할 수도 없는 문제였습니다.

 크레용팝입니다. 대입하면 됩니다.

 

 

 

 

 

 <크레용팝> 1,2,3,4   (2015.3.26.) 

나보다 더 열성적인 팝저씨가 크레용팝 일본 공연 영상과 조합해서 영상으로 만들었음. 묻히면 아까운 노래 였는데..흑,흑흑....

 

 쌤, 삼촌 팬 인증하시는 거예요?

 아.. 아.. 아니.. 난 음악을 워낙 좋아해서..

인증합니다. 2년 전 재수학원 담임 때 스승의날에 받은 선물이예요

 그럼 전,  이하이 예요..

 

 

 

<이하이>1,2,3,4 (2012. 10. 28.)

 뭐든 중요한건 아니고.

 아.. 수열 처음 시간부터 이렇게 많은 드립을 하면 안 되는데...

다시 문제로 돌아 와서

1)

  에 를 대입하면 입니다.

 

2)

  에 를 대입하면 입니다.

뭐 이상한 것 없었나요?

이 아니고 이었죠.

대충 넘어가려고 한 사람 몇 명 있죠?

다시 정리 합니다.

처음에는 수열을 공식을 유도 하는 과정으로 배우지만

큰 시험으로 갈수록 “규칙성”과 “함수”의 성질을 갖고 있다는 것 까먹으면 안 됩니다.

수열은 뭐가 중요하다구요?

  규칙성요.

  정의역이 자연수인 함수예요.

  그렇죠. 핵심을 잘 파악 했네요.

그러면 수열과 함수의 차이에 대해서 기본 내용을 판단하는 문제를 하나 풀도록 하겠습니다.

  수열과 함수의 차이점에 대한 강의입니다. 아래의 OX Quiz를 먼저 풀어 보고 시작하겠습니다. 제한 시간 1분 30초입니다.

	OX Quiz
	(1) 이면 이다. (2) 이면 이다. (3)   이면 이다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 자자. 시간이 다 되었습니다. 그렇다면 먼저 답을 제시하겠습니다.

(1)

(2)

(3)

 다 맞았나요?

 혹시 하나라도 틀린 학생이 있거나 더 자세한 내용을 원한다면 계속 아래를 보시면 됩니다.

 

함수와 수열의 결정적인 차이는 수열은 정의역이 자연수란 말입니다. 수열 첫 강의에서 보았듯이 이라고 표현 되었을 때 은 암묵적으로 자연수라는 말이죠.

함수 라고 하면 는 아무 말이 없으면 실수입니다. 보통 큰 시험으로 갈수록 이것이 실수인지 무엇인지를 정확하게 표현을 해주죠.

아래의 표를 봅시다.

함수	수열

 

  함수 이면 가 되는 것은 당연합니다.

함수 이면 인 것은요?

  모두 다 참인 것 같은데요.

  이것이 성립하는 이유는 무엇인가요?

 당연하니까요.

  맞습니다. 당연합니다. 그 당연한 이유는 무엇입니까? 그것은 가 실수이기 때문입니다. 실수의 모든 범위에서 정의되어 있기 때문에 이면 가 되고 이면 입니다. 결국은 두 함수 모두 같은 말을 하고 있는 것이죠. 를 마음먹은대로 치환을 해도 됩니다.

수열로 넘어 옵시다.

 이면 은 성립합니다.

 이면 이다. 이것은 참일까요? 거짓일까요?

  거짓이요

  왜?

  위에 표에서 거짓이라고 되어 있어요.

 역시 넌 최고야.

         이라는 것에서 암묵적으로 은 뭐라고 했죠?

        그렇죠. 자연수입니다.

        즉 에 대입할 수 있는 값은

         가 되겠지요.

        따라서 얻어 낼 수 있는 정보는

        , , , ,

        입니다.

         이 되려면 이 되어야 하는데

        그런데 여기서 이 어떤 내용인지 알 수 없어요.

        그래서 거짓입니다.

수열은 정의역이 자연수인 함수이기 때문에 뻥튀기는 가능합니다만 축소는 불가능합니다. 이면 이라는 것은 참이지만 이면 이라고 할 수 없지요.

   

물론 뒤의 등차수열을 아는 학생이라면 이 등차수열이면

 이면 이 됩니다.

        

 자. 쌤이 수열은 정의역이 자연수인 함수라는 것을 조금 더 강조하기 위해서 이 강의를 했어요. 의도를 잘 아시겠죠? 그러면 본격적으로 규칙성을 탐구하는 중요한 다음 주제 등차수열을 학습합시다.