[보충] 계차수열

 계차수열은 원래 이번 교육과정(2016년 시행 수능부터) 에서 삭제되었습니다. 그럼에도 불구하고 보충으로 강의를 하는 것은 이것은 점화식에서 계차수열의 개념을 정확하게 알면 쉬운 경우가 많기 때문입니다.

계차수열의 뜻

 우리는 초등학생 때 이런 내용을 본 적이 있습니다.

네모 속에 알맞은 숫자를 쓰세요.

라고 말이죠.

의 값은 무엇이 되겠습니까?

그렇습니다. 의 값은 이 됩니다.

어떤 규칙성이었습니까? 그렇습니다. 아래와 같은 규칙성이었습니다.

이 때 아래에 있는 수열을 Kick the dog 수열, 계차수열이라고 합니다.

계차수열의 뜻

 계차수열이란 수열 의 계차수열을 이라 할 때

 을 계차수열이라고 합니다.

위의 수열에서

 

라는 것을 확인 할 수 있습니다.

여기서 계차수열에서 알아야 할 내용 2가지를 정리 하겠습니다.

계차수열의 일반항

 이제는 역으로 계차수열을 가지고 본 수열의 일반항을 구하는 과정에 대해서 알아 봅시다.

위와 같은 수열이 있다고 합시다.

 이므로

 입니다.

 입니다.

그런데 이었으므로

 가 됩니다.

같은 방법으로 하면

 이므로

가 됩니다.

이를 일반화 시키면 아래 그림처럼 됩니다.

따라서,

 

이므로

이라 쓸 수 있습니다.

원래는 축차대입법으로 증명을 해야 하나, 이것은 이런 방식도 있다는 것을 보여 드린 것입니다. 축차대입법으로 해결한 예는 아래 2번째 문제에 있으니 참고 하시길 바랍니다.

간단한 문제 풀어 보세요.

 수열 의 일반항은?

주어진 수열을 , 수열 의 계차수열을 이라 하면,

 

수열 은 첫째항이 2, 공비가 2인 등비수열이므로,

항수가 10인 수열 에서 , 이다. 수열 의 계차수열을 이라 할 때, 의 값은?

   

위 식들을 변끼리 더하면