포스트내용
여러 가지 점화식 중에서 
꼴을 해결하는 방법을 담았습니다. 그 외의 다른 점화식에 대해서 보려면 이 곳을 클릭하세요.
개정된 수학에서의 점화식
수학과정이 개정되면서 점화식 부분은 점점 약화 되었습니다. 그래서 예전처럼 식을 이용하여 문제를 해결하는 방법보다는 일일이 숫자를 대입하여 규칙성을 파악하는 것이 중요하게 되었습니다. 점화식 III 
꼴은 교과서에 문제로는 주어져 있습니다만 그 풀이방법은 숫자를 대입하여 규칙성을 파악하는 것입니다. 그러므로 수능을 대비하는 학생이라면 식을 만들어서 해결하는 것 보다는 숫자를 대입하여 푸는 방법에 집중을 하는 것이 좋을 것이고, 내신이나 다른 어려운 수학을 대비하는 경우는 식으로 해결하는 방법도 알아 두는 것이 좋다고 생각 됩니다.
예제
예제를 가지고 시작합시다.
, 
일 때 
의 일반항을 구하시오.
풀이 1. 규칙성을 이용한 풀이
숫자를 하나씩 대입해나가면서 규칙성이 있도록 배열하는 방법입니다.
이므로
입니다. 이를 미리 계산하여도 되지만 규칙성을 파악하기 위해서 그대로 둡니다.
에서 방금 구한 
를 대입하여 정리하면
이죠
같은 방법으로 하면
입니다.
뭔가 느낌이 오나요?
입니다.
스멜이 강력하게 오죠?
규칙성은 후각으로 푸는 거야
그래서 
입니다.
이 
을
로 생각한 후
이는 등비수열의 합의 공식 
을 이용하면 됩니다.
따라서 
가 되겠죠.
풀이 2. 계차가 등비수열임을 이용하여 해결
계차수열은 이번 교육과정에서 삭제되었지만 점화식을 해결하는데 있어서 필요한 개념입니다. 위의 문제를 다시 언급하면
,
일 때 
의 일반항을 구하시오.
하나씩 대입하여 보면
입니다.
수열 
을 배열하면
이고 이 수열 
의 계차를 구하면 
입니다.
계차수열의 일반항 공식 
에서
이고 문제의 조건에서 
이므로
이렇게 얻어 낼 수 있습니다.
이 방법 참 없어 보여요.
고등학생 입장에서는 참으로 없어 보이지만, 수능의 관점에서는 중요한 방법입니다. 정해진 형태의 식을 구하는 것은 시간이 지날수록 미래로 갈수록 필요 없는 것이거든요. 컴퓨터가 다 해주죠?.. 그런데 컴퓨터가 잘 못하는 것은 규칙성 자체를 파악하는 것인데 이를 인간이 해야 되는 것입니다. 그래서 수학의 교육과정은 예전과 다르게 시간이 가면 갈수록 공식 그 자체 보다 공식을 얻어내는 과정을 점점 중요하게 생각하고 있고 특히 수열 단원에서는 규칙성이 주가 되므로 중요한 방법입니다.
그런데 이 방법이 참 없어 보인다는 학생을 위해서 풀이 3을 봅니다.
풀이 3. 
를 이용하여 해결하기
이 부분을 해결하는 것도 문자로 바로 해결하면 어려우니 예를 먼저 보고 문자로 일반화 합시다.
, 
일 때 
의 일반항을 구하시오.
의 양변에 1을 더합니다. 일단 왜 그런지는 조금만 있다가 보고 일단 더해 봅시다
입니다.
로 변형할 수 있죠?
여기서 
으로 치환하면 
입니다.
따라서 
를 
으로 정리 할 수 있겠네요.
이는 등비수열을 나타내는 점화식입니다.
그러므로 
로 둘 수 있고 
로 치환했기 때문에
이므로 
은
이 되겠죠?
그래서 
이므로 
로 얻어 낼 수 있겠네요.
이를 풀이 과정으로 아래에 정리합니다.
의 양변에 
을 더하면
이때 
로 놓으면
이므로
구하기 - 방법 1
아까 풀이에서 왜 양변에 
을 더했을까요?
그렇습니다. 
꼴이 되어서 치환을 하기 좋은 형태로 만들기 위해서입니다.
꼴의 점화식은
꼴로 만들어 치환을 하기 위해서 그렇습니다. 치환을 하고 나면 이 수열은 우리가 잘 아는 등비수열의 형태로 바뀌기 때문이죠.
그러면 그 많은 숫자 중에서 왜 1을 더한 것인가 하는 것입니다.
의 문제에서
이를 
로 바꾼다고 생각을 하면 되죠?
의 식을 
의 형태로 바꾸어 봅니다. 
의 식을 전개한 다음 풀어 내는 것이죠.
이고
입니다. 이를 
의 형태와 비교 하면
이므로 
입니다.
이 
를 
에 대입했다고 하면 결과적으로 
의 양변에 
을 더하게 된 것입니다.
그래서 
로 만들어 지는 것이고 이를 치환을 이용하여 해결 할 수 있습니다.
구하기 - 방법 2
문제가 나올 때마다 위의 방법 1로 해결하기엔 시간이 부족한 경우가 있습니다. 그래서 조금 더 외우기 쉬운 방법을 찾아 봅니다.
문자로 시작합시다.
꼴의 점화식에서
의 형태로 고치는 것인데 이는 방금 했던 방법으로 전개 후 비교 하면
이죠?
따라서 
이므로
가 되어
입니다.
그래서 계속 보고 있는 문제 
에서 
를 구하면
이고 
이므로 
입니다.
이란 말은 
식에서 보면 
의 양변에 
을 더하라는 신호죠??
란 식을 기억하는 것도 귀찮습니다. 그래서 기억하기 쉬운 방법을 정리하면 
에 모두 
를 대입하면 
가 구해 집니다.
에서 
를 대입하면
가 되고 이 때의 
는
에서 
로 방금 했던 결과와 일치함을 알 수 있습니다.
그래서 
를 구할 때 
과 
에 모두 
를 대입하면 됩니다.
다른 문제에 적용
, 
일 때 
을 구해 봅시다.
정해진 STEP에 맞추어서 해결합니다. 카라의 정신
이죠? 이제 좀 오래 됐나??
STEP1. 
를 구한다. (이 과정은 풀이과정에 쓰지 않는다.)
를 대입하면
STEP2. 주어진 점화식에 
를 뺀다.
의 양변에 
을 빼면
STEP3. 
으로 치환하여 등비수열의 일반항을 이용한다.
로 두면
이므로
STEP4. 
을 다시 이용하여 
을 구한다.
이므로 
따라서
풀이과정 줄이기
위의 풀이과정에서 과정을 조금 더 축소 할 수 있습니다.
꼴에서 치환하는 과정을 뛰어 넘는 것이죠
을 하나의 덩어리로 생각하는 것입니다.
아래와 같이 할 수 있죠?
수열 
은 첫째항이 
이고 공비가 
인 등비수열이므로
아래와 같이 서술하면 깔끔합니다.
, 
일 때 
을 구하는 문제에서
STEP1. 
를 구한 후 변변 
를 뺀다.
의 양변에 
을 빼면
STEP2. 
가 등비수열임을 이용한다.
수열 
은 첫째항이 
이고 공비가 
인 등비수열이므로
이므로
복잡하네요.
처음엔 복잡한데. 조금만 연습하면 오히려 쉽습니다. 과정이 정해진 것은 익숙해지도록 몇 번 연습만 하면 되니까요.. 그럼 여기 까지 왔으면 더 쉬운 방법을 볼까요?
풀이 4. 공식을 이용하여 답만 내기
지금 소개할 방법은 결과만 알면 Y.M. 풀이법이 되는 것이고 과정을 알면 정말 대단한 방법입니다.
Y.M. 풀이법 이라뇨?
야메 풀이법 이라고.
원래 야메는 야메떼(やめて)로 하지 말라는 것인데..
오 찰스가 웃었어.
원리를 알면 이 방법은 Y.M. 방법이 되지 않습니다. 어떤 학생은 원리도 모르고 공식만 암기 하여 야매라고 하는데 제대로 이해를 한 상태에서 이 방법을 쓰면 좋은 방법이죠. 결과를 정리하고 적용부터 하고 이유를 알아 보겠습니다.
, 
일 때 
을 구하는 문제를 위의 방법으로 해결하면
로 둔 다음 두 식을 만들어 연립하면 됩니다.
입니다.
여기서 
은 주어져 있는데 
는 주어져 있지 않죠?
에서 
을 대입하면 
입니다.
따라서
이므로 
를 연립하면
이고 이를 
에 대입하면
이 됩니다.
와 개꿀인데요.
왜 미리 안 가르쳐 줬어요?
원리를 알아야 되기 때문에 그런거예요.
왜 풀이4로 풀어도 되는가?
풀이 3에서 
에서
로 고칠 수 있고 여기서
는 첫째항이 
이고 공비가 
인 등비수열입니다.
입니다.
이 결과에서 우리는 
, 
로 보면
꼴이 됨을 알 수 있기에 결과를 가지고 
만을 구해서 답을 얻어 낼 수 있는 것이죠. 그래서 위의 방법을 해도 됩니다.
어떤 풀이로 해결할 것인가?
상위권 학생이라면 위의 네가지 풀이법을 모두 할 수 있어야 됩니다. 그런데 시험에 따라 어떤 풀이로 할 지를 결정하는 것이 좋습니다. 내신의 경우는 답만 내는 경우는 풀이 4번을 이용할 수 있어야 됩니다. 수능의 경우는 규칙성을 찾는 풀이 2번을 이용하면 됩니다.
중위권 학생인데 시간이 없을 경우는 풀이 2번과 4번을 집중해도 되겠죠. 아직 까지는 내신은 이렇게 식을 연산하는 문제가 자주 출제 되는 경우가 많으므로 반드시 모두 연습을 하세요. 실제로 수능에서는 출제 될 가능성이 아주 적은 편이고 출제가 된다고 하더라도 수열의 극한 단원에서 
이 주어질 때 
의 값을 구하는 문제 정도로 출제 될 수 있습니다. 이는 수열의 극한이 수렴하는 경우에서만 문제를 출제 할 수 있으므로 수능을 준비하는 학생이라면 규칙성에 염두해 둔 풀이가 가장 좋다고 볼 수 있습니다.