[기본개념] 함수의 증가와 감소

강의내용

 이 강의에는 함수의 증감을 조사 하는 방법이 정리 되어 있습니다. 미적분1과 관련된 다른 개념을 보려면 이 곳을 클릭하세요. 그리고 미적분2에 관련된 내용을 보려면 여기를 누르세요.

선수학습 - 증가상태와 감소상태

극대와 극소의 개념을 정확하게 알기 위해서는 증가상태와 감소상태가 무엇인지를 알고 있어야 합니다. 그것과 관련된 강의는 이 곳을 클릭 하세요.

구간이 주어질 때의 증가와 감소

 우리는 증가상태를 배운 적이 있습니다. 어떤 특정한 점에서 그 함수가 증가 하고 있는지 없는지를 미분계수를 통하여 확인을 할 수 있었습니다.

미분가능한 함수 에 대하여 이면 함수 는 에서 증가상태에 있다는 것을 말이죠.

 그것을 구간으로 확장시키면 아래와 같은 내용이 성립합니다.

어떤 특정한 구간에서 도함수의 부호가 모두 양수이면 그 구간에서 그 함수는 증가한다는 내용입니다.

특정한 점에서 위의 그림처럼 이면 증가상태에 있는데 이를 구간으로 확장시킨 것입니다.

역은 성립하지 않는다.

 조심해야 될 것은 위의 명제의 역은 성립하지 않는 다는 것입니다. 이 내용이 주로 내신에서 잘 출제 되는 부분이므로 조심해야 될 것입니다.

즉 함수 어떤 구간에서 가 증가함수이면 이라고 하면 틀립니다. 틀리는 이유는 그 전 시간에 증가상태와 감소상태에서 설명한 바가 있습니다.

반례로 들수 있는 식은 의 경우입니다. 은 확실히 증가함수입니다. 그러나 으로 이라고 할 수 없죠??

언제 안 됩니까?

  일 때 이예요.

 그렇습니다. 유진이가 정확하게 파악했죠?  여기서 가 증가함수이면 이 아니라 임을 알아 내었습니다.

위의 그림처럼 인 순간에서도 은 증가함수입니다.

파란선은 접선으로 접선이 통과 합니다.

그리고 이 때의 접선의 기울기는 0이죠?

  

위의 내용처럼 가 아니라 등호가 포함된 형태가 되어야 됩니다.

이 부분 선생님의 낚시 포인트 이므로 낚이지 않도록 조심하세요.

함수 가 모든 실수에서 증가하도록 의 범위를 정할 때, 가장 큰 정수 의 값은?

 

 함수가 모든 실수에서 증가합니다. 본 함수가 증가하므로 도함수 이면 되겠습니까?

아니죠???

정말 아니죠??

맞나요?

아닙니다. 

도함수 이어야 합니다.

이고 가 모든 실수 에 대하여 증가함수가 되려면 일 때이므로 의 판별식이 이어야 한다.

즉, 이므로 

   따라서, 구하는 가장 큰 정수는 이다.

위의 풀이에서 인 이유를 모르겠다면 이 곳을 참고 하세요. 클릭

함수의 증가와 감소

 함수의 값이 증가하는지 감소하는지를 알수 있었습니다. 우리는 그것을 통해서 미분 가능한 함수에서 도함수의 부호를 결정을 할 수 있으면 원래 함수의 증감을 조사 할 수 있습니다. 그 증감을 조사 하기 위해서 표를 그리거나 도함수의 그래프를 통해서 우리는 함수의 그래프를 쉽게 그릴 수 있습니다.

 표를 그리는 것은 처음에 하는 학생의 경우 반드시 해 봐야 됩니다. 물론 나중에는 표를 그리지 않고도 그릴 수 있고 그것이 더 빠른 방법이며 실전적인 방법입니다. 수능이나 평가원에서 표를 이용한 문제가 딱 한 문제 출제 된 적이 있습니다.

꼭 시험에 출제 된다기 보다 기본 내용은 반드시 알고는 있어야 하겠죠?

증감표

 구체적인 예를 통해서 증감표를 그려 봅시다. 여러분들도 한번 같이 해 봅시다.

다음 함수의 증가, 감소를 조사하시오.

 

 함수의 증감을 조사할 때는 일단 도함수의 부호로 판단합니다.

일단 미분 해야 겠죠?

 

입니다. 그런데 우리는 도함수의 부호 로 본함수의 증감을 조사하므로

도함수를 인수분해 된 형태로 고칩니다 .

 가 됩니다.

이제는 정해진 STEP에 맞춰서 하면 되겠죠? 카라의 정신 입니다.

 이 되는 의 값은 가 되겠죠?

 표를 그리는 목적을 생각합시다. 표를 그리는 것은 함수 의 증감을 조사하기 위해서입니다. 의 값에 따라서 를 조사하여 의 증감을 조사하는 것이기에 표를 그릴 때 왼쪽 칸에는 의 순서대로 쓰시면 됩니다.

그리고 이 되도록 하는 의 값을 위의 표에서 제일 처음 줄에 표시 합니다.

위의 빨간색으로 체크 된 부분이 이 되도록 하는 의 값입니다.

앞에 있는 의 의미는 일 때를 의미하는 것입니다.

중간에 있는 는 인 범위를

맨 뒤에 있는 는 일때를 의미하는 것이죠

 이제 두 번째 줄에 있는 의 부호를 조사합니다. 의 부호를 가지고 원래의 함수 의 증감을 조사하고 있다는 것을 잊지 마세요.

일단 일 때와 일 때의 의 값은 0 이므로 아래와 같이 되겠죠?

이제 일 때와 일 때 일 때의 의 부호를 조사합니다.

그 부호를 조사하는 방법은 두 가지가 있는 데 숫자를 대입하여 부호를 조사할 수도 있고 아니면 의 그래프를 이용하여 부호를 결정할 수 있습니다.

숫자를 대입하는 것은 인 특정한 값을 대입하는 것입니다.

그래프로 한번 해결 해 보죠.

도함수의 그래프 의 그래프를 그리는 것입니다.

여기서 우리는 일 때 는 양수가 되고

 일 때는 는 축 보다 아래에 있으므로 음수가

그리고 일 때는 양수가 되겠죠?

그래프를 그리던지 숫자를 대입하던지 어떤 방법으로든 부호를 결정해서 아래와 같이 표에 작성합니다.

 이제 세 번째 줄에 있는 칸의 빈칸을 채워 넣어 봅시다.

 이면 함수 는 증가함수죠? 그래서

의 부호가 양수이면 아래에 표시를 쓰고

의 부호가 음수이면 아래에 를 씁니다.

함수가 증가하는지 감소하는지를 표를 통해서 한 눈에 볼 수 있죠?

자 이제 한눈에 알게 되었습니다. 일 때는 함수 는 증가하고

 일 때는 함수 는 감소하고

일 때는 함수 는 증가함을 알 수 있습니다.

이를 통하여 함수의 그래프의 개형을 그릴 수 있습니다.

나머지 빈칸은 지금 단원에서는 채워 넣지 않아도 되고 나중에 함수의 그래프를 그리려면 채워 넣은데 함숫값을 채워 넣으면 좋습니다.

의 값을 구해봅니다. 이 아닙니다.

 이었으므로

 이고

 니 아래와 같이 채워 넣죠

이 정도 표를 작성했으면 함수의 그래프의 개형도 그릴 수 있겠죠?

그 때는 증감표를 이용하지 않고 도함수의 그래프를 통해서 바로 그릴 것입니다만.

 위의 정해진 STEP을 연습하시면 쉽게 될 것입니다.

방금 했던 과정의 풀이를 정리하고 다른 문제에 여러분들이 적용해보시길 바랍니다.

다음 함수의 증가, 감소를 조사하시오.

 

에서

  또는

이때, 의 부호의 변화를 조사하여 의 증가와 감소를 표로 나타내면

따라서 함수 는 구간 , 에서 증가하고 구간 에서 감소한다.

 다른 문제입니다. 여러분들이 해 보세요.

해 보고 있는 고양이 (2016.3.20.)

 아~~ 쌤.

 왜 ??

 왜 그랬어요?

 알면서...

다음 함수의 증가와 감소를 조사하시오.

에서 

   

 인 의 값은

 

  또는

증감표를 그리면 아래와 같다.

따라서, 함수 는 또는 에서 증가하고 에서 감소한다.

구간으로 나타낼 때는 또는 에서 증가하고 에서 감소한다.로 표현한다.

함수 은 에서 감소하고, 에서 증가한다. 이 때, 상수 의 값의 범위는?

에서

    

에서 

(ⅰ) 일 때 는 감소하므로 이어야 한다.

(ⅱ) 일 때

가 증가하므로 이어야 한다.

(ⅰ),(ⅱ)에 의해서