[기본개념] 증가상태와 감소상태

강의내용

  이 강의는 증가상태와 감소상태에 대한 내용을 배웁니다. 간단하게 이해할 수도 있고 엄밀하게 이해할 수도 있습니다. 간단한 방법은 수능을 대비하는 경우에 사용하면 됩니다. 문과 학생의 경우는 간단하게 해석하면 되고 수리논술이나 수학의 재미를 느끼는 학생은 엄밀한 방법까지 학습하면 됩니다. 그 외 미적분1과 관련된 내용은 여기를 클릭하세요.

참고사항

 이 내용은 개정교과에서는 빠진 과정이므로 참고로 보실 분만 학습 하시면 됩니다.

증가상태와 감소상태

 어떤 함수가 증가함수라 할 때는 어떤 구간에서 이면 를 만족한다는 사실은 증가함수와 감소함수 시간에 배웠습니다.

 그런데 구간이 아니라 어떤 점 주변에서 그 함수가 증가하고 있는지 감소하는지를 미분계수의 부호를 통해서 알 수 있습니다.

 결론부터 정리해 봅시다.

 어떤 특정한 점에서 증가하는지 감소하는지를 판별할 수 있는데 위의 결론을 보고 직관적으로 생각해 봅시다.

이란 말은 어떤 특정한 점에서의 기울기가 양수라는 것을 의미합니다. 그러면 아래와 같은 그림을 생각할 수 있겠죠?

그래서 직관적으로 보면 주변에서는 확실히 함수 는 주변에서는 증가하고 있음을 알 수 있습니다. 함수 전체에서는 감소하는 부분이 있다고 하더라도 확실히 주변에서는 증가하고 있음을 알 수 있습니다.

그래서 위의 결과를 암기하면 됩니다. 이해 후 암기하센!!

증가상태와 감소상태의 엄밀한 정의

 여기부터 아래 증명까지는 수학을 좋아하는 학생만 보면 되겠습니다. 증가상태와 감소상태의 엄밀한 정의는 아래와 같습니다.

  충분히 작은 양수라는 것은 아주 작은 양수를 의미하겠죠? 충분히 작다는 말이 수학스럽지는 않은(?) 말로 느껴질지 모르겠지만 극한의 개념이기 때문에 충분히 수학적입니다. 증가상태가 되는 경우는 아래의 그래프를 보면 쉽게 이해되리라 생각 됩니다.

여기서 의 간격이 아주 커 보입니다만 확대에서 그린 것이고 실제로는 아주 조밀하게 모여있다라고 생각하면 조금 더 증가상태에 가까운 것입니다.

감소상태의 경우는 그림을 그리지 않더라도 (사실 그림을 그리기엔 시간이 정말 많이 걸리거든요. ) 이해 되리라 생각합니다.

증가상태와 감소상태의 엄밀한 정의를 이용하여 증명

위의 엄밀한 정의를 바탕으로 하여 이면 함수 는 에서 증가상태에 있다는 성질을 증명합니다.

역은 성립하는가?

 어떤 교과서에는 이것에 대한 증명이 제대로 안된 경우가 있었습니다. 역은 성립하지 않습니다. 나중에 증가함수와 감소함수가 되기 위한 조건에서도 언급하겠지만 에서 주변에서 충분히 작은 양수 에 대하여 가 성립합니다. 즉 함수 는 에서 증가상태에 있죠? 그렇지만 에서 이므로 역은 성립하지 않는 반례가 됩니다.

연습문제

 연습문제를 해결하는 것은 그렇게 어렵지는 않을 것입니다.

함수 는 에서 감소상태인가? 증가상태인가?

에서 에서의 미분계수  이므로 증가상태이다