[기본개념] 산술기하평균 증명과 그 활용

포스트 내용

  산술평균과 기하평균의 관계에 대한 내용입니다. 산술평균과 기하평균의 부등식에 대해서 증명을  그 외 절대부등식과 관련된 내용은 여기를 클릭 하세요.

산술평균

  산술평균이란 그냥 평균이라고 생각하시면 됩니다.

  두 수 의 평균은 입니다. 이것을 산술평균이라고 합니다. 수열 단원에서 등차중항과도 연결되는 내용이죠.

기하평균

 기하평균은 비율의 평균입니다. 도형의 닮음비에서 얻어 질수도 있죠.

  가장 간단한 기하평균의 예는 아래와 같습니다.

  

  용돈이 원 있었습니다. 이것이 1개월 후 배가 되고 개월 후 배가 되면 2개월 후에는 원입니다. 이것을 1개월마다 평균적으로 몇 배가 늘어났는지 알아 볼까요?

1개월당 배 늘어난다고 한다면 1개월 후에는 원 , 2개월 후에는 원입니다. 그렇다면 아까 구한 와 는 같다고 하면

가 되죠? 의 값 중 양수인 들 의 기하평균이라고 합니다. 수열에서는 등비중항과 연결되는 내용이죠.

산술평균과 기하평균의 관계

 산술평균과 기하평균의 관계는 아래와 같이 부등식으로 정리 됩니다.

이 부등식을 암기를 해야 되는데 위에 있는 모든 내용을 다 암기 하셔야 합니다. 우선 양수 조건이 있어야 하고 등호가 성립하는 조건까지도 암기해야 겠죠?

 선생님 정말요? 이거 암기해야 되요?

 당연하지.

증명 1.

  산술평균과 기하평균의 관계를 증명 할 때는 차를 이용하여 대소 관계를 보일 수 있습니다.

증명 2. 기하학적으로 증명

 이제는 기하학적으로 증명해 봅시다. “소” 공식이라고 아세요? 중학교 2학년, 3학년 때 나오는 공식인데 이는 삼각형의 닮음과 넓이를 통해서 얻어 낼 수 있는 공식 이었죠? 잘 기억이 안난다구요? 그러면 여기를 클릭하세요.

중심이 인 반원위의 점 를 선분 지름 에 수선의 발을 내려서 그 발을 점 라 합니다.

 의 공식을 이용한다면 기하학적으로 산술 기하 평균의 관계를 증명할 수 있습니다.

, 라 한다면‘

이 원의 반지름의 길이는 이고 높이인 이므로

반지름의 길이가 보다는 크거나 같죠?

그래서 가 성립하는 것입니다.

그냥 이렇게 넘어 가면 될까요?

 선생님, 등호가 성립할 조건도 해야 되지 않나요?

 맞습니다. 유진이는 참 잘 기억하고 있네요. 부등식에서 등호가 성립할 조건은 반드시 써줘야 되죠? 그렇다면 기하학적으로 증명을 했을 때 위의 도형에서 등호가 성립할 조건은 언제 입니까? 반지름의 길이와 그림에서 높이 가 같을 때 말이죠?

 일 때 이니까 가 꼭대기에 있을 때네요.

 그렇습니다. 가 원의 중심에 있을 때 등호가 성립할 조건이 되겠죠?

산술평균과 기하평균의 적용 1

 산술평균과 기하평균의 사용을 하는 경우에 대해서 살펴보겠습니다. 일단 산술기하 평균의 관계에서는 의 관계를 만족합니다. 여기서 물론 는 양수이고 등호조건은 일 때라는 것은 당연히 기억을 하고 있어야 하는 것이죠? 가장 많이 나오는 형태는 합이 일정할 때 곱의 최대를 구할 수 있고, 곱이 일정할 때 합의 최소를 구할 수 있습니다.

 곱이 일정하다는 말이 무엇인가요?

 곱이 일정하다는 것은 하나의 문자의 경우 처럼 두 개를 곱하면 이 되어 상수가 되죠? 문자가 없어지는 경우를 말합니다. 또는 처럼 두 문자의 곱이 상수가 되는 경우를 말하는 것이죠. 이런 경우는 문자가 남지 않아 산술기하평균의 관계를 이용하면 최대와 최소를 쉽게 구할 수 있습니다.

가장 잘 나오는 형태가 역수의 형태입니다.

예를 들어 에서 의 최솟값을 구하라는 문제가 있다면

가 되어 의 최솟값이 라는 것을 알 수 있습니다.

 적용하는 방법을 잘 모르겠어요.

 산술기하평균의 관계는 암기에서 시작합니다. 절대부등식의 형태를 암기하여 식을 대입하여 최댓값과 최솟값을 구할 수 있는 것이죠.

 적용하는 연습을 해 볼까요? 산술기하평균의 관계를 다시 정리해 봅시다.

위에서 각 식이나 숫자는 양수가 되어야 합니다. 또한

등호는 일 때 성립합니다.

그래서 를 각 동그라미와 세모에 넣었다고 생각하면 됩니다.

즉 부등식의 틀을 그대로 유지 한 채 식을 넣었다고 생각을 하면 됩니다.

붕어빵의 틀을 만들어 놓고 거기에 밀반죽을 붓는 것과 똑같은 원리입니다.

역수 관계에서의 활용

 방금 본 것처럼 역수 관계의 식 나 와 같은 식이 포함된 식의 합의 최소는 쉽게 얻어 낼 수 있겠죠?

예를 들어 양수 의 최솟값을 구하라고 하면

 이므로 최솟값은 이고 최소가 되도록 하는 의 값은 등호조건에 의하여 , 즉 () 이 됩니다. 

이건 단순한 것입니다.  이를 이용하여 식을 살짝 변화 시켜 시험문제에 출제가 됩니다. 예를 들어 아래와 같은 식의 최솟값과 최소가 되도록 하는 의 값을 구할 수 있느냐 하는 것입니다.

 예제 1

1) 일 때 의 최솟값을 구하시오.

2) 일 때 의 최솟값을 구하시오.

 해설

위의 세 문제는 모두 곱이 일정하도록 식을 만들어 내어야 합니다.

1)의 경우는 를 로 식을 고칠 수 있으니까 방금 다루었던 내용과 같습니다.

2)의 경우는 곱이 일정한 형태를 만들기 위하여 원래의 식 를 씨스타의 방법 인 “있다 없으니까”를 통해서 곱이 일정한 형태로 만들어 냅니다.

이렇게 한 후 과 을 하나의 묶음으로 보면 두 묶음을 곱하면 상수가 됩니다. 그래서 이것을 산술기하 평균의 관계에 적용합니다. 을 동그라미 을 세모로 보고 아래의 식에 넣죠. 물론 이니 과 은 모두 양수임에 주목을 하면서 말이죠.

그러면 입니다.

여기에 양변에 을 더하면

이 됩니다.

그렇다면 아래와 같이 정리 할 수 있겠죠?

 풀이 1

1) 이므로

에서 산술기하평균의 관계에 의하여

 이므로 최솟값은 이고

등호는 , 즉 일 때 성립한다. ()

2) 

 

                  

이므로 최솟값은

등호가 성립하는 조건은

 일 때 이므로

 , 즉 () 이다.

       

 아래의 문제는 어떻습니까?

 예제 2

 일 때 의 최솟값을 구하시오.

 해설

복잡해 보이지만 그렇게 어렵지 않습니다.

1)의 경우는 분자를 분모로 나누면 를 로 나누어 보면 몫이 이고 나머지가 이므로 입니다.

따라서 아래와 같이 쓸 수 있죠?

  이 됩니다. 그래서 위의 문제에서 2)번과 같아집니다.

 완전히 새로운 문제 같지만 단지 식을 통분을 해서 복잡하게 느낄 뿐입니다. 그렇다면 여러분들은 아래와 같은 내용을 기억하고 있어야 겠네요.

 계속 진행해 볼까요? 아래의 문제는 어떻게??

 예제 3

 일 때 의 최댓값을 구하시오.

 

방금과 차이점은 단지 역수를 취한 것 밖에 없습니다.

예제 2번의 문제는 의 최솟값을 구하라는 문제 였고 이제는 역수를 취한 형태이면서 최댓값을 구하는 문제입니다. 아래와 같이 생각 하면 되겠죠?

          

         

가 되어 최댓값은 가 됩니다. 그러니 약간의 변형이 있어도 언제든 여러분들은 곱이 일정한 형태의 식으로 만들어 산술기하평균의 관계를 적용할 수 있어야 하겠습니다.

아래 문제를 풀어 보시고 다음 내용으로 넘어 가도록 하겠습니다.

 문제 1

일 때, 의 최솟값은?

이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여

 

 문제 2

가 양의 실수일 때, 의 최솟값을 구하고 그 때의 의 값을 구하여라.

이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여

등호는 일 때 성립하므로

따라서 는 양의 실수이므로 이다.

 문제 3

일 때, 이 항상 성립하기 위한 의 최댓값을 구하여라.

에서 이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여

   

                 

                  (단, 등호는 일 때 성립)

따라서 이 항상 성립하려면 이므로 구하는 의 최댓값은 이다.

 문제 4

 일 때, 의 최솟값과 이때 의 값을 구하여라.

이므로

등호는 일 때 성립한다. 이때,

 

 문제 5

 일 때 의 최댓값을 구하시오.

산술기하 평균의 관계에 의하여

최댓값 :

산술평균과 기하평균의 적용 2

 방금은 곱이 일정한 경우를 봤습니다. 이제는 합이 일정한 경우를 봅니다. 도형에서 응용된 형태를 보도록 하겠습니다. 합이 일정한 경우는 아래와 같은 경우입니다.

양수 에 대하여 일 때 의 최댓값을 구하라는 문제가 있다고 합시다. 이럴 때 문제 그대로 두 식의 합이 로 일정합니다. 이 때는 산술기하 평균의 관계를 이용하여 곱의 최댓값을 구할 수 있습니다. 그냥 공식에 대입하면 바로 얻을 수 있죠.

이므로 

 에서

이므로 최댓값은 이고 등호조건에 의하여 일 때 즉 이므로 일 때 최댓값을 갖습니다.

이를 이용하여 도형문제나 함수문제에서 적용할 수 있습니다. 보통은 합이 일정한 경우는 함수 문제로 출제 되는 경우가 많죠.

보통 최댓값과 최솟값을 구하라는 문제는 등호조건일 때 최대 또는 최소이므로 이를 활용하면 쉽게 해결 할 수 있는 경우가 많습니다. 아래 문제를 볼까요?

 문제 1

아래 그림과 같이 좌표평면 위의

점을 지나는 직선이 축, 축과 만나는 점을 각각 라 할 때, 삼각형 의 넓이의 최솟값을 구하여라.   (단,이다.)

  해설

산술기하 평균의 관계와 함수가 주어진 전형적인 문제입니다. 산술기하 평균의 관계는 주로 도형의 문제와 연결되어 나오는 경우가 많습니다. 이 문제를 해결하는 데 있어서 필요한 내용은 절편이 이고 절편이 인 직선의 방정식은

 에서 , 임을 알 수 있습니다. 그래서 삼각형 의 넓이는 임을 알 수 있죠.

그리고 점 가 직선 위를 지나므로

 을 만족합니다.

그런데 보통 최댓값과 최솟값을 구하는 경우는 등호조건인 경우가 많으므로

 일 때 최댓값을 갖게 되고 위의 의 식에서 가 되어야 할 것입니다. 따라서 에서 , 에서 이 되므로

구하는 답은 ㉠에서 가 됩니다.

이를 정확하게 풀이 하면 아래와 같습니다.

 풀이 1

두 점 , 의 좌표는 각각이므로

의 넓이를 라 하면

           ㉠

또 점 이 직선 위의 점이므로

       

이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여

       

그런데 이므로

     (단, 등호는 일 때 성립)

양변을 제곱하면

          ㉡

㉠, ㉡에서

따라서 의 넓이의 최솟값은 이다.

산술평균과 기하평균의 적용 3

 산술기하평균의 관계에서 시험에서 잘 출제 되는 부분입니다. 문제를 보도록 하죠. 합의 형태와 역수의 합의 형태의 곱을 산술기하 평균을 이용하는 방법입니다.

 예제

, 일 때 의 최솟값을 구하는 문제에서 아래와 같이 해결 하였다. 틀린 이유는 무엇이고 제대로 된 풀이과정을 쓰시오.

, 에서 가 성립한다.
이므로 

   
 따라서 최솟값은 8이다.  

 해설

위의 문제에서 처음으로 틀린 과정이 무엇이냐 라고 물었을 때 대부분의 학생들은 정확한 답을 하지 못하는 경우가 많습니다.

처음으로 틀린 부분은 입니다.

이 부분에 대한 내용은 등호조건에 대한 내용으로 이 강의의 아랫부분에 "등호 조건을 쓰는 경우를 먼저 읽어 보시길 바랍니다. 여기를 클릭

그렇다면 이 논리 과정이 틀린 이유는 무엇일까요? 부등식에서 최대와 최소를 갖는 조건은 등호가 성립할 때입니다.

양수 에 대하여

에서 등호조건은 이고

에서의 등호조건은 입니다.

여기서 이므로 위의 등호조건 와 같으려면 이 될 수밖에 없는데 이것은 양수 라는 조건에 모순이므로 동시에 만족하는 등호조건이 없습니다. 그래서 최솟값이 이라는 결론은 잘못 된 것입니다.

그렇다면 정확한 풀이는 어떨까요? 아래와 같습니다.

[올바른 풀이]

따라서 최솟값은 9이다.

 올바른 풀이

따라서 최솟값은 9이다.

일 때, 즉 일 때 성립한다.

 산술기하 평균의 관계를 여러분들이 학습할 때 반드시 식의 형태를 암기하고 있어야 한다는 점입니다. 방금 문제처럼 합의 형태에 역수의 합의 형태가 곱해진 경우는 전개 후 산술기하 평균을 쓴다는 것 반드시 기억해 두세요.

 그럼 문제를 한번 풀어 볼까요?

 문제 1

일 때, 의 최솟값을 구하여라.

 풀이 1

 

산술평균과 기하평균의 관계에 의하여

  

               단, 등호는 일 때 성립

따라서 의 최솟값은 이다.

 문제 2

인 실수 에 대하여 은 에서 최솟값 를 가진다. 의 값을 구하시오.

 풀이 2

                

                

                

이때, 등호는 , 즉 일 때 성립하므로

         

산술평균과 기하평균의 적용 4

 산술 기하 평균의 관계는 곱이 일정하여 상수가 되거나 합이 일정한 경우에만 쓰지는 않습니다. 아래와 같은 문제를 보고 풀이부터 보고 해설을 봅시다.

 예제

일 때,의 최솟값은?

 풀이

 이므로 산술평균과 기하평균의 관계에

의하여

(단, 등호는 일 때 성립)

따라서 주어진 식의 최솟값은 이다.

 해설

 이 문제를 해결 할 때는 산술기하 평균의 관계를 세 번 적용했습니다. 그리고 최솟값을 구했습니다. 이렇게 최솟값을 적용할 수 있는 이유는 등호조건이 성립하는 경우가 있기 때문입니다.

 에서 등호조건은 일 때

 에서 등호조건은 일 때

 에서 등호조건은 일 때 로

각 등호조건은 일 때 만족하는 경우가 있으므로 최솟값이 이라고 할 수 있습니다.

즉 등호조건이 같은 경우는 산술기하 평균의 관계를 여러 번 사용하여 최댓값 또는 최솟값을 구할 수 있다는 것을 의미합니다.

산술평균과 기하평균의 적용 5

 산술기하평균에서 역수의 합의 최소에 대해서 알아 봅니다. 이 부분은 푸는 방법을 기억하지 못하면 틀리는 경우가 많습니다. 내신에서 주로 출제가 되는 부분입니다. 문제를 먼저 보고 풀이를 본 후에 해설을 하도록 하겠습니다.

  이고 일 때, 의 최솟값을 구하시오.

 이므로

 

 ㉠

  이므로

산술평균과 기하평균의 관계에 의해

 ㉡

(단, 등호는 일 때 성립)

㉠，㉡에서

따라서 의 최솟값은 이다.

 해설

이 문제의 경우에는 합의 조건이 주어져 있을 때 역수의 합의 최대와 최소를 구하는 과정입니다. 그 과정에서 곱한 후 나눈다는 아이디어를 기억하세요.

를 

주어진 식 에서

를 곱해도 이므로 식은 변화가 없습니다.

그래서 

 로 고친 후 위에서 본 합의 형태와 역수의 합의 형태는 전개 한 후에 산술기하 평균을 쓴다는 것 기억하셨죠?

아래의 연습문제를 보겠습니다.

다음은 두 양수 가 을 만족할 때, 의 최솟값을 구하는 과정이다.

          

         

         

따라서, 의 최솟값은 이다.

위의 과정에서 에 알맞은 것을 순서대로 적으면?

  답

,