[기본개념] 부등식의 증명 1. 차를 이용한 대소비교

포스트내용

 부등식을 증명하는 방법 중에서 차를 이용한 대소를 비교하는 방법에 대해서 알아 봅니다. 그리고 부등식을 증명할 때 등호조건을 써야 되는 이유에 대해서 간략하게 알아 봅니다.

  그 외 부등식의 증명이나 절대부등식과 관련된 부분은 여기를 클릭하세요.

 

차를 이용한 대소비교

 차를 이용하여 대소 관계를 비교하는 방법은 간단합니다. 어떤 식 에서 임을 보이려면 임을 보이면 됩니다.

 문제를 통해서 보면 간단하겠죠?

  실수 에 대하여 부등식 임을 증명하시오

  두 식의 대소관계를 결정하기 위해서

  의 관계를 결정하면 됩니다.

  임을 잊지 않으셨죠?

  이 식을 통하여 대소 관계를 쉽게 결정할 수 있습니다. 즉 아래와 같이 증명을 할 수 있겠죠?

 

  

따라서   (, 단 등호는 일 때 )

[증명 끝]

등호 조건이 성립하는 경우

 여기서 잠깐.. 부등식을 증명할 때는 반드시 등호가 성립하는 경우를 표현하여야 합니다. 즉 위의 문제에서는 실수 라고 했으므로 이 되려면 가 되어야 됩니다.

등호 조건을 쓰는 이유

 부등식을 증명하는 경우 등호가 성립하는 조건을 써 줘야 되는 이유는 조금 더 엄밀한 증명을 위해서입니다. 보통은 최솟값과 관련된 주제가 되는데 예를 들어 보도록 하죠

  집합 이 있다고 합시다. 집합 의 원소중 최솟값은 인 것은 당연합니다. 그러므로  에 대하여 인 것은 당연하죠.

그렇다면 역으로 이므로 최솟값은 1임을 알 수 있습니다.

그러면 이 질문은 어떤가요? ‘명제 이면 이다.’ 이는 참입니까? 거짓입니까?

의 범위가 더 크기 때문에 참이 되겠죠?

그렇다면 이면 이다는 참이 됩니다.

그럼 이렇게 정리 할 수 있겠네요.

집합 에 대하여 인 실수 에서 은 참이라고 할 수 있습니다.

그러면 역으로 이면 최솟값은 이라고 할 수 있을 까요?

아닙니다. 부등식만 보고 최솟값이 이라고 단정을 할 수 가 없죠?

실제로는 최솟값은 그대로 이지만 부등식의 표현으로 은 참입니다.

심지어 도 참이 됩니다. 그렇다면 부등식을 증명하는데 있어서 등호조건을 쓰는 이유는 조금 더 엄밀하게 보이는 목적이 있습니다.

이면서 인 경우가 하나라도 있으면 최솟값은 이라고 할 수 있는 것이겠죠?