[기본개념] 부등식의 증명 2. 제곱의 차를 이용하기, 삼각부등식

포스트내용

부등식의 증명 중에서 제곱의 차를 이용하여 증명하는 내용이 담겨 있습니다. 또한  절대부등식중에서 중요한 삼각부등식의 증명과정이 있습니다. 그외 다른 절대부등식에 관련된 내용은 여기를 클릭하세요. 

제곱의 차를 이용하기

 이제 제곱의 차를 이용하여 대소관계를 결정해 보도록 합시다.

 제곱을 차를 이용하는 것은 두 수 또는 식이 양수일 때만 쓸 수 있다는 것을 기억해야 됩니다. 먼저 정리를 해 보겠습니다.

양수의 조건이 없으면 성립하지 않습니다. 그러므로 이 개념을 이용하는 경우는 특히 서술형이라면 양수라는 것을 반드시 표현 해 주어야 합니다.

 이면

 이므로

이면 을 로 나누면

 

즉,

가 되겠죠?

그래서 반드시 양수 일때만 쓸 수 있습니다. 그렇다면 이는 언제 사용할까요?

보통은 가 포함된 식이나 절댓값을 포함하는 경우에 주로 이용합니다만 형태를 몇 개 암기를 해 놓는 것이 좋겠죠?

삼각부등식

  제곱의 차를 이용하여 증명하는 중요한 형태는 교과서에 설명된 삼각부등식입니다. 삼각부등식이란 아래의 부등식을 말합니다.

 이름이 삼각부등식이란 것은 삼각형의 세 변의 길이의 관계 즉,

가장 큰 변의 길이는 다른 변의 길이의 합 보다 작다는 것을 벡터로 증명한 것이지만 지금의 과정에서는 사실상 보이기 어렵습니다.

어쨌든 수학을 하는 사람에게는 중요한 내용이라고 생각을 하시면 되겠죠?

이는 교과서에 나오는 절대 부등식 중에 하나로 증명을 하는 방법이 제곱의 차를 이용하여 증명을 할 수 있습니다. 그렇다면 이를 증명 해 볼까요?

삼각부등식의 증명

 위의 부등식 가 성립함을 증명할 때는 중요한 포인트 두가지가 있습니다.

 1. 제곱을 해서 증명을 할 때 와 가 모두 양수라는 것을 언급해 주어야 합니다.

 2. 등호가 성립할 조건을 반드시 표현을 해 주어야 됩니다.

아래가 증명 과정입니다.

[증명]

, 는 양수 이므로

 

 

에서

일 때는 위의 식이 이 되고

일 때는 이므로

 이다.

(단, 등호는 )

[증명 끝]

연습문제

 위에서 배운 내용을 바탕으로 해서 간단한 문제 하나 풀어 봅시다. 보통은 절댓값기호나 가 포함된 부등식에서 사용하는 경우가 많다는 것을 기억하셨죠? 부등식의 증명 단원은 어느 정도 암기 하는 부분이 많아 식의 형태를 암기해야 됩니다.

예제

 , 일 때 ,
다음 두 식의 대소를 비교하시오.

풀이

두 식은 모두 양수 이므로,

 

 

  단 등호는 일 때 성립 [증명 끝]