[기본개념] 계수의 총합, 홀수차, 짝수차 계수의 총합

 

강의 내용

  항등식 단원에서 다항식의 계수의 총합과 홀수차 계수의 총합, 짝수차 계수의 총합을 얻어내는 방법에 대해서 학습합니다. 그 외 수I에서 다항식 단원의 다항식, 항등식, 나머지정리와 관련된 강의를 보려면 여기를 클릭하세요.

고차 다항식의 표현방법

   는 일차식

 는 이차식

  는 삼차식입니다.

 그러면 10차식을 표현하려면 각 계수를 로 표현하려면 상당히 불편하겠죠?

 그래서 10차식의 경우 보통 아래와 같이 표현합니다.

  

 여기서 이란 것은 차항의 계수를 의미합니다.

 는 상수항을 의미하죠.

 

계수의 총합

  다항식에서의 계수의 총합에 대해서 알아 보겠습니다.

 일차식 의 계수의 총합은

 일차항의 계수

 상수항의 계수

 위의 두 개를 더하여 이 됩니다.

 상수항 까지를 모두 계수라고 합니다.

  

 그렇다면 이차식 의 계수의 총합은 이 되겠죠?

 다시 볼까요?

   에서 계수의 총합을 나타내는 식 을 얻어 내기 위해서는 어떻게 하면 되겠습니까?

 그렇습니다. 을 대입하면 되겠죠?

 즉, 계수의 총합은 이 됩니다.

 10차식의 경우는 어떨까요?

 어떤 10차식을

  로 표현할 수 있고

위의 계수의 총합은 이므로

에서 을 대입한 식과 일치합니다.

즉 모든 다항식에서 계수의 총합은 임을 알 수 있습니다.

홀수차, 짝수차 계수의 총합

 항등식 단원과 나중에 배울 확률과 통계 단원에서 이항계수의 관계식을 얻어 낼 때 홀수차 계수의 총합과 짝수차 계수의 총합을 구하는 과정이 있습니다. 이는 아래와 같이 얻어 낼 수 있습니다.

예를 들어 5차식이 가 있다고 합시다.

 라 할 수 있을 것입니다.

방금 계수의 총합을 배웠죠?

위의 식에 을 대입하면

 입니다.

그리고 여기서 중요한데 을 대입하면 , 이므로

 죠?

파란색의 식 ㉠과 빨간색의 식 ㉡을 더하면?

 가 되어

 로 구할 수 있습니다.

즉, 짝수차 계수의 총합을 구할 수 있죠?

홀수차 계수의 총합은

㉠에서 ㉡을 빼면 얻어 낼수 있습니다.

이 되어

로 구할 수 있겠네요.

이는 5차식 뿐만 아니라 차 다항식에서도 성립하는 것입니다.

아래에 결과를 정리하겠지만 여러분들은 의 순환성에 주목하여 홀수차 계수와 짝수차 계수의 총합을 얻어 낼 수 있다는 것을 기억하셔야 됩니다. 아래 정리 한 것 보다 더 중요한 사실이겠죠?

시험에 잘 나오는 문제

고등학교 1학년 중간고사에 자주 출제 되는 문제 하나 보겠습니다.

모든 실수 에 대하여,

이 성립할 때,

 의 값을 구하시오.(단, 은 상수) 

라 하면

주어진 식은 에 대한 항등식이므로

㉠과 ㉡를 변변 더한후 2를 나누면

일 때, 의 값을 구하시오.  

양변에 을 대입하면

 

양변에 을 대입하면

 

 하면

∴