[기본개념] 항등식

강의 내용

  이 강의에는 항등식의 정의와 미정계수를 결정하는 방법, 그리고 다양한 형태의 항등식 문제가 준비 되어 있습니다. 그 외 수I에서 다항식, 인수분해, 나머지 정리와 관련된 강의를 보려면 여기를 클릭 하세요.

등식

  등식이란 등호를 포함한 식을 등식이라고 합니다. 예를 들어

 

  

 위의 두가지의 예는 모두 등식입니다.

 등식은 두 개로 분류할 수 있는데 방정식과 항등식입니다.

 방정식이란 어떤 특정한 값에 대해서만 성립하는 등식을 말하고 항등식은 어떤 값에 관계 없이 항상 성립하는 등식을 말하죠.

 방정식과 관련된 예로는

 

 

 위의 식은 방정식입니다. 은 일 때만 만족합니다.

 또한 은 일 때만 만족하죠

 항등식은

 와 같이 지구상의 어떤 의 값을 대입하여도 성립하죠? 이를 항등식이라고 합니다. 방정식은 다음 단원에 있고 이 단원에는 항등식과 관련된 내용들을 보도록 하겠습니다.

항등식을 나타내는 용어

 어떤 식이 항등식인지 아닌지를 나타내는 용어들을 알고 있어야 하겠습니다. 항등식이란 항상 성립하는 등식이라고 했습니다. 그래서 아래와 같은 용어들은 모두 항등식을 나타내는 용어입니다.

같은 말인 것 알겠죠? 이건 수학의 영역이 아니라 국어의 영역입니다. 모두 같은 말로 문제에서 위의 문구가 있으면 이것은 항등식의 개념을 이용하여 풀라는 말입니다.

항등식의 미정계수법

 미정계수란 정해지지 않는 계수란 뜻입니다. 그래서 어떤 항등식에서 문자의 값을 구하는 것을 미정계수를 구한다라고 이야기 합니다.

예를 들어

가 에 대한 항등식이다. 라고 했을 때

가 되면 되죠?

이처럼 특정한 문자의 값을 구하는 것을 미정계수를 구한다라고 말합니다.

항등식의 문제에서 미정계수를 구하는 방법은 두 가지 방법이 있습니다. 그 두가지 방법은 수치대입법, 계수비교법 이렇게 두 가지가 있습니다. 항등식의 미정계수를 구하는 방법이 두 가지가 있다는 것이 중요한 개념적 도구가 됩니다.

미정계수법 첫째. 수치대입법

 항등식에서 미정계수를 구하는 방법 첫 번째로 숫자를 대입하는 방법입니다. 이를 수치 대입법이라고 하죠. 이는 항등식의 정의를 이용한 방법입니다. 항등식의 정의는 어떤 값을 대입해도 성립하므로 특정한 어떤 값을 대입해도 성립한다는 말에서 나온 것이죠. 예를 들어 문제를 보도록 합시다.

등식 이 에 대한 항등식이 되도록 상수 의 값을 정하면?

 위의 문제에서 를 구하는 문제죠?

양변에 어떤 숫자를 대입하면 좋을 까요?

어떤 숫자를 대입해도 됩니다. 위의 문제가 아래처럼 보인다면 수치대입법을 쉽게 이용할 수 있겠죠?

파란색 부분 즉, 이 이 되도록 하는 의 값이 이므로

을 대입하여 식 하나를 결정하고

빨간색 부분, 즉 이 이 되도록 의 값 을 대입하여

식을 두 개 만들 수 있으므로 의 값은 쉽게 구할 수 있을 것입니다.

의 양변에

을 대입하면 , 

을 대입하면 ,

 그러니 항등식에서 수치대입법을 이용하는 경우는 곱의 형태로 되어 있는 경우에는 수치대입법을 이용하면 편합니다. 예를 들어 한 문제 더 볼 까요?

다음 등식이 에 대한 항등식이 되도록 상수 의 값을 구하시오. 

 위의 문제에서 에 어떤 값을 대입할지를 생각 해 보았습니까?

구하는 것이 이렇게 세 개의 문자입니다. 그렇다면 식은 세 개가 필요하겠죠?

따라서 숫자를 3개를 대입하면 됩니다. 그것을 대입하는 기준은

곱의 형태에 주목하여 대입을 하면 되겠죠?

파란색 가 이 되도록 을 대입합니다.

빨간색 가 이 되도록 을 대입합니다.

초록색 가 이 되도독 를 대입하면 됩니다.

그렇다면 식 3개이므로 값을 모두 구할 수 있습니다.

는

에 대한 항등식 이므로

 이면 

 이면 

 이면 

따라서, 구하는 답은 이다.

항등식의 미정계수법- 계수비교법

 계수비교법에 대해서 살펴 보겠습니다. 계수를 비교하는 방법이란 말이겠죠? 먼저 결과부터 정리하면

어떤 식이 에 대한 항등식이라고 할 때 좌변과 우변의 식이 같다고 생각하면 편합니다. 이는 항등식의 성질입니다. 성질이란 정의가 아니고 정의를 통해서 나온 결론이란 것이죠. 그렇다면 위의 내용을 한번 증명해 볼까요?

증명은 수치대입법을 이용하여 위의 식에서 ❶을 증명할 수 있습니다.

어떻습니까? 항등식의 정의를 이용하여 수치대입법으로 증명을 하였습니다.

나머지도 마찬가지로 수치대입법을 이용하여 증명할 수 있습니다. 실전에서는 방금 본 것과 같이 양변의 식이 같으면 된다는 것을 기억하시면 됩니다.

간단한 예를 볼까요?

다음 등식 이

에 대한 항등식이 되도록 상수 의 값을 정할 때 의 값을 구하시오.

 우변의 식을 전개하여 내림차순으로 정리 한 다음 좌변과 우변이 같음을 이용하면 되죠? 각 동류항의 계수를 비교 하여 식을 얻어 낼 수 있습니다.

등식의 우변을 정리하여 에 대한 내림차순으로

정리하면

                     

위의 식이 에 대한 항등식이 되려면

동류항의 계수가 같아야하므로

 

이것을 풀면

     

k의 값에 관계없이 성립

 문제에서 의 값에 관계 없이라는 말이 등장할 때는 이 식이 에 대한 항등식이란 말입니다. 방금까지 에 대한 항등식을 보았는데 문자가 바뀌는 경우도 적용을 할 수 있어야 겠죠? 를 변수로 보고 나머지를 상수로 본다는 말입니다.

그래서 이런 문제는 에 대해서 내림차순으로 정리한 후 좌변과 우변이 같음을 이용하면 되겠습니다.

문제를 볼까요?

이

 의 값에 관계없이 항상 성립할 때, 의 값은?

위의 문제에서 를 변수로 보고 나머지를 상수로 보아서 해결합니다.

즉 으로 고친 다음

괄호 속에 있는 값들이 모두 0임을 이용하면 식이 세 개가 나오므로 의 값을 결정할 수 있을 것입니다.

주어진 식은 에 관한 항등식이므로

∴ , , 이므로

, 에서

∴ ,

따라서

 등식 이

의 값에 관계없이 성립할 때, 상수 의 합 의 값은?

이 문제는 좌변을 에 대하여 내림차순 정리하면

 로 고칠 수 있죠?

에 해당하는 식의 값이 우변의 의 계수인 가 됩니다.

그리고 상수항은 이 되겠죠?

이 에 대한 항등식이므로

∴ ,

연립하여 풀면,

∴

분수식의 값이 일정할 때

 항등식 문제를 풀 때 분수식의 값이 일정할 때 미정계수를 구하는 문제가 있습니다. 이 문제는 구하는 값을 라고 두면 쉽게 해결 됩니다.

 모든 실수 에 대하여 이 항상 일정한 값을 가질 때, 두 실수 에 대하여 의 값을 구하시오.

라 두고

양변을 을 곱하면

좌변도 에 대한 이차식이고 우변도 에 대한 이차식입니다.

에 대한 항등식이라고 했으므로

좌변과 우변의 의 계수, 의 계수, 상수항이 같다는 것을 이용하면 세 식이 나오겠죠?

 이 에 관계없이 항상 일정한 값을 가지므로

 라 두고 양변을 을 곱하면

 에 대한 항등식이 되어야 하므로

 

위의 세 식을 연립하면

,   ∴

x,y의 값에 관계 없이

 의 값에 관계없이 성립한다는 말은 어떤 를 대입하던, 를 대입하든지 성립한다는 말입니다. 그래서 이 문제를 해결 할 때는

 의 형태로 고친

다음 괄호 속에 있는 값들이 0임을 이용하면 됩니다.

또는 으로 고쳐서 각 계수가 같다는 것을 이용해도 되겠죠?

, 임을 이용하면 되는 것이죠

문제를 볼까요?

임의의 두 실수 에 대하여

이 항상 성립할 때, 실수 에 대하여 의 값은? 

에서

이 

모든 ,에 대하여 성립해야 하므로

,

 따라서

즉, , 이므로

 , ,

따라서

조건식이 주어질 때

  방금 본 것과 비슷한 문제인데 문제부터 볼까요?

을 만족하는 모든 에 대하여 이 항상 성립할 때 의 값은?

 모든 에 대하여 성립하여 이것은 에 대한 항등식입니다. 이라는 조건에서 가 각각 독립적인 변수가 아니죠? 가 변하면 그 변한 것에 따라 의 값도 변합니다. 이 때는 한 문자를 소거하여 식을 정리 하면 됩니다. 을 대입하여 에 대한 항등식의 문제로 생각하여 해결 하면 되겠죠?

에서 이므로

주어진 식을 에 관하여 정리하면

모든 에 대해 성립하므로

 ,

, 이므로

 

 이 다음 강의 계수의 총합, 홀수차 계수의 총합, 짝수차 계수의 총합과 관련된 강의를 보면 항등식에 대한 기본개념과 교과서에 설명된 여러 유형들을 거의 모두 학습한 것입니다. 반드시 다음 강의를 보세요. 이 곳을 클릭.