[기본개념] 전개공식

포스트내용

  기본 전개공식이 정리 되어 있습니다. 중학교때 배운 내용들과 그에 관련된 문제로 계수를 구하는 문제, 그리고 고등학교 때 추가 되는 전개공식으로 구성 되어 있습니다. 그 외 다항식, 항등식, 인수분해와 관련된 강의를 보려면 이 곳을 클릭 하시면 됩니다.

전개

  전개란 간단하게 이야기 하면 “곱의 꼴로 되어 있는 것을 합의 꼴로 고친다. ”라고 합니다. 정확하게 이야기 한다면 식을 “단항식의 합의 형태로 표현한다.” 말할 수 있습니다. 그런데 고등학교 1학년 과정을 배우고 있다면 전개가 무엇인지 언어로 표현하지 않아도 무엇인지를 잘 알고 있을 것입니다.

여러 가지 전개공식들을 암기해야 됩니다. 이 부분을 암기 하기 편하게 하기 위해서 부형식 수학 블로그에서는 여러 단원으로 쪼개어서 설명을 하고 있으니 쪼개어진 강의들을 모두 읽어 보시면 암기를 하는데 도움이 되리라 생각 됩니다.

그러면 기본 전개공식을 볼까요?

위 공식은 모두 중학교 2학년 과정에서 배운 것입니다.  다른 것은 그냥 전개하면 되니까 6번 공식만 증명을 해 보기로 합니다. 단순히 전개 하여 얻어 낼 수도 있습니다만 치환을 이용하여 증명을 하면 조금 더 단순하겠죠?

이 포스트에는 모두 중학교 과정입니다. 그 외 고등학교 과정에 대한 것은 다음 강의로 연결 됩니다.

대표 예제

다음을 전개 하시오.
①    
②

풀이

①

② 

시험문제에는?

  고등학교 과정에서 시험문제는 어떤 문제가 나올 까요? 단순히 전개를 하여 식을 써라는 문제도 나올 수도 있겠지만 편하게 점수를 매기기 위해서(?) 어떤 특정한 차수의 계수를 구하는 문제가 출제 될 것입니다. 문제를 풀 때 모두 전개 하지 않고 문제에서 요구하는 차수의 계수를 구하는 것이 핵심입니다.

 

다항식 의 전개식에서

의 계수는?

이 문제를 풀 때 위의 식을 모두 전개 하려면 무려 16번의 식을 계산 해야 됩니다. 수학 문제는 “최소한의 양심”은 있기에 그렇게 계산하라는 문제는 아니겠죠?

이 문제를 풀 때는 두 식을 곱하여 이 나오는 경우를 찾으면 됩니다.

 

에서 

이 식의 전개식에서 의 항은

이다.

따라서 구하는 답은 20이다.

다항식 의 전개식에서 의 계수는?

 

이 식의 전개식에서 의 항은

 

 

 

따라서 의 계수는 20이다.

고등학교 과정에서 추가 된 전개공식

 고등학교에서 배우는 전개공식을 아래에 정리합니다.

위의 공식중에서 7번의 위에 있는 공식

을 증명합니다. 증명하는 과정은

임을 이용하여 증명하는 것입니다.

8번 공식은 그래로 전개 하시면 구하는 답을 얻어 낼 수도 있고 이와 관련된 내용은 처음에는 바로 암기는 잘 안되지만 인수분해 단원에서 공부를 하시다 보면 자연스럽게 됩니다. 무엇보다도 여러분들이 연습을 많이 하셔야 되는 부분입니다.

계산과정에서 잘 틀리는 학생을 위한 전개

 특히 처음에 배울 때 전개를 하다가 틀리는 경우를 많이 보아왔습니다. 그래서 아래와 같은 방법으로 전개를 하는 것도 좋습니다. 다음에 배울 곱셈공식의 변형에서 나온공식이긴 한데요 아래를 봅시다.

위의 공식에서 보면 제곱 공식과 세제곱 공식은 뭔가 비슷한데 세제곱공식에서는 아래에 붉은 색으로 표현된 부분만 차이가 있습니다. 즉 어떻게 전개를 하냐면

예를 들어

을 전개하는 문제를 봅시다.

세제곱, 세제곱 입니다.

 

까지 쓰는 것이죠

그 다음 뒤에 을 받아 쓰기 하는 겁니다

즉

그런 다음 이 식을 내림차순으로 정리하면 됩니다.

이게 글로 표현해서 어떨런지는 모르겠지만 수학이 약한 학생들에게는 상당히 도움이 되었던 방법입니다.

 으로 직접정리를 하시거나

방금 했던 방법으로 해 보시길 바랍니다.

① 을 전개 하시오.

② 를 전개 하시오.

①

②

① 을 전개하시오

② 을 전개하시오.

①

②