[기본개념] 곱셈공식의 변형

포스트내용

  곱셈공식의 변형과 관련된 포스트입니다. 항이 두 개일 때와 세 개 일 때로 구분하여 정리 합니다. 보통 공식을 모아 놓고 공식 암기 후 그것이 어떤 공식인지 끌어 내는 것은 상당히 복잡한 일입니다. 그래서 항의 개수에 따라 분류하여 정리 하는 것입니다. 그 외 다항식과 관련된 다른 개념을 보려면 이 곳을 클릭 하세요.

항이 2개일 때의 곱셈공식의 변형

 문자가 2개일 때(또는 항이 2개일 때) 의 곱셈공식의 변형은 두 개의 공식을 기억하면 됩니다. 풀어 쓴다면 3개지만 알고 보면 두 개의 공식입니다.

. 

1번 공식은 중학교 공식에서 나온 것으로 에서 나온 것입니다. 2번 공식은 고등학교 과정으로 에서 나온 것이죠. 2번 공식중 위에 있는 공식 를 증명합니다.

곱셈공식의 변형 1. 암기하기

 곱셈공식을 암기할 때는 의미 단위로 암기 할 수 있어야 합니다. 영어에서 의미단위로 끊어 읽듯이 말입니다. 의미 단위란

세 제곱의 합

제곱의 합

합

곱

을 하나의 의미단위로 생각하여 암기 합니다. 그 의미에 따라 연산군의 정신 에 따라 식을 빠르고 정확하게 할 수 있으면 되겠습니다.

곱셈공식 공식의 변형 1.은 언제 사용 되나?

  는

합, 곱, 제곱의 합 중에서 두 개가 주어질 때 나머지 하나를 구할 수 있습니다.

또한

 는

합, 곱, 세제곱의 합 중에서 두 개가 주어질 때 나머지 하나를 구할 수 있죠.

조심해야 될 점

  에서 대신에 를 대입을 하면

 이므로

 임을 쉽게 얻어 낼 수 있습니다.

그러나 라고 해서

 가 성립 하지 않죠?

가 성립합니다.

간단한 문제 하나 풀어 보고 넘어 갑시다.

, 일 때, 의 값을 구하면?

, 에서

 이므로

, ∴ 이므로

또 이므로

일 때, 의 값을 구하면? 

 이므로

항이 3개일 때의 곱셈공식의 변형

  항이 3개일 때 (문자가 3개일 때)의 곱셈공식의 변형에 대해서 알아 보겠습니다. 먼저 공식을 보겠습니다.

이 공식은 모두 를 의미단위에 맞게 식을 재 정리 한 것에 불과 합니다.

 로 고친 것은

제곱의 합

합

두 개의 곱의 합

라는 의미단위로 식을 정리한 것입니다.

또한 마찬가지로 2번 공식도 그렇습니다. 내신을 대비하는 학생이라면 2번 공식을 암기 하고 있어야 하고 수능을 대비 하는 경우는 1번 만으로 충분합니다.

2번 공식은 1번의 식에서 자리에 , 자리에 , 자리에 를 대입한 것에 불과한 식이고 역시 의미단위로 암기 할 수 있어야 겠습니다.

  이고 일 때
의 값을 구하시오.

 , , 일 때, 의 값은? 

이므로

∴

∴

∴

더하기 순환형 곱의 문제

 내신 시험에 잘 나오는 형태로 더하기 순환형의 곱 문제가 있습니다. 덧셈 순환형이란 말은 여기에서 처음 쓰는 말이므로 다른 곳에서는 쓰지 않도록 합시다. 어떤 문제인지를 언어로 표현하는 것은 개념 공부에도 도움이 되는 것이라 이름을 지었습니다.

더하기 (덧셈) 순환형 곱의 문제란

의 값을 구하는 문제를 말하죠.

이 문제를 푸는 방법은 두 가지가 있습니다. 두 가지를 모두 다 보도록 합시다.

일 때, 의 값은? 

풀이 1. 문자의 수를 줄이면서 순환성이 있는 식으로 변형하기

 에서

 이죠?

그래서

 은

로 변형 한 다음 이 식을 전개 합니다.

그러면 

 로 정리 할 수 있을 것입니다.

문제에서 , 이 주어져 있으므로 는

를 통하여 구할 수 있겠죠?

이므로

∴ 또 이므로

, ,

∴

풀이 2. 삼차방정식의 근과 계수를 이용하여 쉽게 공식 유도 하기

의 공식을 이용합니다. 이를 직접 전개 해도 쉽게 얻어 낼 수 있고 혹시 삼차방정식을 만드는 방법을 안다면 조금 더 편하게 얻어 낼 수 있죠?

위의 문제에서 는

은 였죠?

그래서 ㉠의 식에서 가 와 같으므로

 이죠?

따라서 

㉠의 식에 대신 다시 를 대입하면

 임을 얻어 낼 수 있습니다.

위 공식은 방금처럼 왜 그런지 머릿속에 정리가 되어 있다면 자연스럽게 암기 되는 것입니다. 혹시 내신 시험이 급한 경우는 시간을 아끼기 위해서 쓸 수 있는 것이므로 시험 치기 전에는 암기를 하면 좋겠네요.

 풀이 1번을 먼저 확실하게 한 다음에 하는 것을 추천합니다. 이렇게 추천해도 중위권 학생들은 공식만 암기하려 하더라구요. 참 마음이 아픈데 제발 부탁이니 풀이 1번부터 먼저 하세요. 처음에 습관을 잘 들여 놓아야 1등급으로 쉽게 갈 수 있습니다. 공식만 달랑 암기 한다음 대입하여 푸는 것은 중학교 수학 이후로는 그렇게 하면 나중에 결과가 잘 나오질 않습니다.

, , 일 때, 의 값을 구하면?

풀이 1. 교과서 풀이

 이므로

.

,

따라서

풀이 2. 공식을 이용한 풀이

 이므로

 이다.

순환형 제곱의 합의 형태

 이 부분은 시험에 잘 나오기에 따로 정리 하는 공식입니다. 먼저 공식부터 정리 하도록 하겠습니다.

 선생님 이 공식 암기 해야 되나요?

 고등학교 1학년 과정은 참으로 암기할 것이 많습니다. 증명과정도 암기하고 공식도 암기해야 되고 어떤 식으로 시험에 출제가 되는지 까지도 알아야 됩니다. 내신시험은 수학적인 능력을 묻는 것도 있지만 학생이 얼마나 공부를 열심히 했는지를 묻기도 하거든요.

위의 공식을 증명하겠습니다.

어떻게 시험에 나오나?

 문제의 예를 볼까요?

일 때,

 의 값을 구하면?

위의 문제처럼 , 두 개의 조건만 주어지고

그 때 의 값을 구하라는 문제로 출제가 됩니다.

 쌤. 이란 것은 외웠는데 그러면 를 어떻게 구해요?

  로 주어지고

 로 주어지면

위의 식에서 아래의 식을 더하면 의 값을 구할 수 있으니까

 이므로 나머지의 항도 구할 수 있겠죠?

 아하~!! 쉽게 구할 수 있겠네요.

 그렇습니다. 문제에서는 어떻게 출제가 된다? 조건 두 개만 주어진다. 두 개의 조건으로 나머지 하나를 구할 수 있다는 것입니다. 이 문제의 구조 자체는 암기 해야 된다고 했어요. 그러면 이 문제의 풀이를 아래에 남기도록 하겠습니다.

이면

두 식을 변끼리 더하면 이다.

숫자만 바꾸어서 아래 문제도 하나 풀어 보세요.

 , 일 때, 의 값을 구하시오.

  ㉠

  ㉡

㉠-㉡에서

(주어진 식)=

       

곱셈공식의 도형에서의 활용 문제

 곱셈공식을 도형에서 활용할 수 있습니다. 이는 중학교 3학년때 배운 피타고라스의 정리와 연결하여 문제가 자주 출제 되는 편이죠.

직사각형과 직육면체가 주로 자주 나오는 내용입니다.

직사각형

직사각형은 위에서 보면 대각선의 길이는 제곱의 합을

넓이는 곱을

둘레의 길이는 합에 대한 내용을 알 수 있습니다.

그러니 문제에서는 대각선, 넓이, 둘레 중 두 개의 조건을 주고 나머지를 구하라는 문제가 출제 될 수 있고 이는 곱셈공식의 변형 을 이용하여 문제를 해결 할 수 있을 것입니다.

직육면체

위의 공식에서 알 수 있듯이 대각선의 길이는 제곱의 합을

겉넓이는 두 개의 곱의 합을

모서리의 길이는 합을 나타냅니다.

마찬가지로 대각선의 길이, 겉넓이, 모서리의 길이의 합 중에서 두 개의 조건이 주어지고 나머지를 구하라는 문제가 출제 되겠죠?

오른쪽 직육면체에서 겉넓이는 이고, 모서리의 길이의 합은 이다. 이 상자의 대각선 의 길이는 ?

 , 에서

 
 

따라서 구하는 값은 5다.