[기본개념] 합성함수의 미분법

포스트내용

  미적분2에서 합성함수의 미분법에 대한 증명을 다룹니다. 증명외의 활용을 연습 하기 위해서는 미적분1에 있는 강의 여기를 클릭하시면 됩니다. 원래는 미적분2에만 있는 내용이지만 미적분1을 학습할 때 활용법을 알아 두면 편한 경우가 많았죠. 미적분2에 있는 미분단원 중에서 다른 개념을 공부하려면 여기를 누르세요.

합성함수의 미분법 1

 합성함수의 미분법을 두 가지로 분류하여 정리합니다. 합성함수의 미분법에서 변수를 하나로 생각하여 바로 미분하는 방법으로 자주 쓰이게 되는 방법이고 이미 많은 학생들은 이 공식을 미적분1 시간에 이유는 몰라도 학습 했을 것이라 생각 됩니다. 이제는 미적분2 시간이니 이유를 정확하게 알아봅시다.

이것도 증명을 하기 위해서는 도함수의 정의로 해결을 해야 겠죠?

합성함수의 미분법 1의 적용

 방금 배운 개념을 적용을 합니다. 적용을 할 때는 식의 특징을 먼저 볼까요?

의 미분은 입니다. 이 부분을 조금이라도 아는 사람은 아래 문제를 바로 해결해 보시고 아닌 경우는 여기를 클릭해서 먼저 학습하고 오세요.

함수 에 대하여 를 구하시오.

이므로

다음 함수를 미분하시오.

 

이므로 

 

합성함수의 미분법 2

 교과서에 제시된 방법으로 다변수로 치환을 이용하여 합성함수를 미분하는 방법입니다. 여러 변수가 서로 관계가 있을 때 미분을 하는 방법으로 고난도 문제가 되면 이 아이디어를 이용해야 됩니다. 아래 부분은 조금 어려운 내용이므로 상위권 학생들은 반드시 숙지해야 되는 부분입니다. 깊게 공부할 사람은 봐야 됩니다.

  처럼 마치 분수계산처럼 이용할 수 있다는 것인데 이는 먼저 증명과정을 보고 해설하겠습니다.

 위의 증명과정에서 네모칸에 있는 내용이 보통의 학생들이 잘 모르기도 하고 궁금한 부분입니다. 라는 것은 원래는 를 나타낸 것입니다.

이를 로 표현 할 수 있고 일 때 임을 이용한다면

함수의 극한값의 기본성질에 의하여

임을 이용할 수 있기에

로 표현 할 수 있다는 것을 의미합니다.

합성함수의 미분법 2의 적용

 그러면 이것을 이용하여 적용을 해 봅시다.

을 미분하시오.

이것을 푸는 데는 별로 어려움이 없지만 치환을 이용하여 방금 내용을 가지고 합성함수의 도함수를 구할 수 있을 것입니다. 결과 보다 과정에 주의하면서 연습하면 도움이 되겠죠?

로 둡니다.

그러면 입니다.

이 때 이므로

이므로 이므로

입니다. 

결국 치환을 이용하여 해결한 다는 것이 포인트입니다.

 로 놓으면 이므로  

  ,

∴

이제 여러분들이 하나 해 볼까요?

 을 미분하시오.

로 놓으면 이므로

   ,

∴